作业帮讨论以下函数在x=0处的连续性
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/21 19:55:53
讨论以下函数在x=0处的连续性
x>0时,f(x)={[1+(1/x)]^(1/x)/e}^(1/x)
x0时，f(x)={[1+x]^(1/x)/e}^(1/x)
x≤0时，f(x)=e^(-1/2)
x>0时,f(x)={[1+(1/x)]^(1/x)/e}^(1/x)
x0时，f(x)={[1+x]^(1/x)/e}^(1/x)
x≤0时，f(x)=e^(-1/2)
∵x＞0时,f(x)={[1+x]^(1/x)/e}^(1/x)
∴两边同时取自然对数时,有：
㏑f(x)=㏑{[1+x]^(1/x)/e}^(1/x)
即㏑f(x)=（1/x²）㏑[1+x]-(1/x)
∴根据洛必达法则：
lim（x→0）（1/x²）㏑[1+x]-(1/x)
＝lim（x→0）{㏑[1+x]-x}/（1/x²）
＝lim（x→0）{[1/（x+1）]-1}/2x
＝lim（x→0）-x/(2x²+2x)
＝lim（x→0）-1/(4x+2)
＝-½
lim（x→0）㏑{[1+(1/x)]^(1/x)/e}^(1/x)＝e^(-½ )
∴函数于x＝0处连续
再问： O(∩_∩)O谢谢
再答： 我看了一下西域牛仔王的答案： lnf(x)=(1/x)[(1/x)ln(1+x)-1]=(1/x)^2[ln(1+x)-x] 和我的答案对照： lim（x→0）（1/x²）㏑[1+x]-(1/x)＝lim（x→0）{㏑[1+x]-x}/（1/x²） 发现就是(1/x)^2[ln(1+x)-x]和{㏑[1+x]-x}/（1/x²）的差别 于是我发现是我打多了一个“/” 到目前为止西域牛仔王是对的 然而他下一步就错了： =lim {[1/(1+x)-1]/(2x)}后，应该是： ＝lim（-x）/(2x²+2x) 再上下求导，应该是： ＝lim（-1）/(4x+2) 也就是我的答案 不知道西域牛仔王是否认同？
∴两边同时取自然对数时,有：
㏑f(x)=㏑{[1+x]^(1/x)/e}^(1/x)
即㏑f(x)=（1/x²）㏑[1+x]-(1/x)
∴根据洛必达法则：
lim（x→0）（1/x²）㏑[1+x]-(1/x)
＝lim（x→0）{㏑[1+x]-x}/（1/x²）
＝lim（x→0）{[1/（x+1）]-1}/2x
＝lim（x→0）-x/(2x²+2x)
＝lim（x→0）-1/(4x+2)
＝-½
lim（x→0）㏑{[1+(1/x)]^(1/x)/e}^(1/x)＝e^(-½ )
∴函数于x＝0处连续
再问： O(∩_∩)O谢谢
再答： 我看了一下西域牛仔王的答案： lnf(x)=(1/x)[(1/x)ln(1+x)-1]=(1/x)^2[ln(1+x)-x] 和我的答案对照： lim（x→0）（1/x²）㏑[1+x]-(1/x)＝lim（x→0）{㏑[1+x]-x}/（1/x²） 发现就是(1/x)^2[ln(1+x)-x]和{㏑[1+x]-x}/（1/x²）的差别 于是我发现是我打多了一个“/” 到目前为止西域牛仔王是对的 然而他下一步就错了： =lim {[1/(1+x)-1]/(2x)}后，应该是： ＝lim（-x）/(2x²+2x) 再上下求导，应该是： ＝lim（-1）/(4x+2) 也就是我的答案 不知道西域牛仔王是否认同？