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设矩阵A=（1 0 0 证明当n≥3时 A^n=A^(n-2)+A^2-E,并求A^100 1 0 1 0 1 0） 希

来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/13 05:33:24
设矩阵A=（1 0 0 证明当n≥3时 A^n=A^(n-2)+A^2-E,并求A^100 1 0 1 0 1 0） 希望给出详解,
矩阵A的第一行为1 0 第二行为1 0 第三行为0 1 求A^100
用归纳法证明.由
A^2 =
1 0 0
1 1 0
1 0 1
A^3 =
1 0 0
2 0 1
1 1 0
A^4 =
1 0 0
2 1 0
2 0 1
则有:A^3 = A + A^2 - E.( 注意:此时有 A^3 - A = A^2 - E
A^4 = A^2 +A^2 - E.
即 n=3,4时成立.
假设n-1时成立,即 A^(n-1) = A^(n-3) + A^2 - E.
则 A^n = AA^(n-1) = A[A^(n-3) + A^2 - E]
= A^(n-2) + A^3 - A
= A^(n-2) + A^2 - E
即n时命题也成立.
故 A^n = A^(n-2) + A^2 - E 得证.
所以有
A^100 - A^98 = A^2 - E,
A^98 - A^96 = A^2 - E,
A^96 - A^94 = A^2 - E,
.
A^4 - A^2 = A^2 - E,
两端相加得:
A^100 - A^2 = 49(A^2 - E).
所以
A^100 = A^2 + 49(A^2 - E) =
1 0 0
50 1 0
50 0 1
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