作业帮求不定积分∫根号下（4X^2+1)dx
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/09 14:43:20
求不定积分∫根号下（4X^2+1)dx
那些初中没教到的符号解释下.
英文的符号.
我用换元法做,
令u(v)=V^0.5 v(x)=4X^2+1 dv=8Xdx
【∫(4X^2+1)^0.5dx 】/8x 这部有什么问题
那些初中没教到的符号解释下.
英文的符号.
我用换元法做,
令u(v)=V^0.5 v(x)=4X^2+1 dv=8Xdx
【∫(4X^2+1)^0.5dx 】/8x 这部有什么问题
令u = √v,v = 4x² + 1,dv = 8x dx
∫ √(4x² + 1) dx
= ∫ √v * 1/(8x) * dv,这个x无法抵消,所以要用另一种代换法
√(4x² + 1) = √[(2x)² + 1]
设2x = tanθ,2 dx = sec²θ dθ
sinθ = 2x/√(4x² + 1),cosθ = 1/√(4x² + 1)
∫ √(4x² + 1) dx
= ∫ √(tan²θ + 1) * (1/2)sec²θ * dθ
= (1/2)∫ |secθ| * sec²θ dθ
= (1/2)∫ sec³θ dθ
= (1/2)[(1/2)secθtanθ + (1/2)ln|secθ + tanθ|] + C
= (1/4)(secθtanθ + ln|secθ + tanθ|) + C
= (1/4)(2x√(4x² + 1) + ln|2x + √(4x² + 1)|) + C
再问： 三角换元那步看不懂，sec是什么？ 三角函数没学好……
再答： secx = 1/cosx
∫ √(4x² + 1) dx
= ∫ √v * 1/(8x) * dv,这个x无法抵消,所以要用另一种代换法
√(4x² + 1) = √[(2x)² + 1]
设2x = tanθ,2 dx = sec²θ dθ
sinθ = 2x/√(4x² + 1),cosθ = 1/√(4x² + 1)
∫ √(4x² + 1) dx
= ∫ √(tan²θ + 1) * (1/2)sec²θ * dθ
= (1/2)∫ |secθ| * sec²θ dθ
= (1/2)∫ sec³θ dθ
= (1/2)[(1/2)secθtanθ + (1/2)ln|secθ + tanθ|] + C
= (1/4)(secθtanθ + ln|secθ + tanθ|) + C
= (1/4)(2x√(4x² + 1) + ln|2x + √(4x² + 1)|) + C
再问： 三角换元那步看不懂，sec是什么？ 三角函数没学好……
再答： secx = 1/cosx