作业帮已知函数f（x）=ax3+3x2-6ax-11,g（x）=3x2+6x+12,直线l：y=kx+9,又f′（-1）=0
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/16 06:47:30
已知函数f（x）=ax3+3x2-6ax-11,g（x）=3x2+6x+12,直线l：y=kx+9,又f′（-1）=0
是否存在K的值,使直线l既是曲线y=f(x)的切线,又是曲线y=g(x)的切线.如果存在,请求出k的值.
是否存在K的值,使直线l既是曲线y=f(x)的切线,又是曲线y=g(x)的切线.如果存在,请求出k的值.
由f(x)=ax^3+3x^2-6ax-11 => f'(x)=3ax^2+6x-6a
∴ f'(-1)=0=3a-6-6a => a=-2 => f(x)=-2x^3+3x^2+12x-11
设直线l在f(x)上的一个切点为M(m,f(m)),在g(x)上的一个切点为N(n,g(n))
直线l：y=kx+9 过定点P(0,9),若直线既是y=f(x)的切线,又是y=g(x)的切线
则必有P,M,N三点共线,即k(PM)=k(PN)=k(MN)=k
∴ [f(m)-9]/(m-0)=[g(n)-9]/(n-0)=[f(m)-g(n)]/(m-n)=k
即 [(-2m^3+3m^2+12m-11)-9]/m=[(3n^2+6n+12)-9]/n=k (1)
由f(x),g(x),y的函数求导可得,f'(x)=-6x^2+6x+12,g'(x)=6x+6,y'=k
由P,M,N三点共线知,经过三点的切线斜率相等,即f'(m)=g'(n)=y'=k,
∴-6m^2+6m+12=6n+6=k (2)
联立方程(1)(2),解方程组,可得m=2,n=-1,k=0
此时f(m)=f(2)=-2*2^3+3*2^2+12*2-11=9,∴M=M(2,9)
f(n)=f(-1)=3-6+12=9,∴N=N(-1,9)
易见,P(0,9),M(2,9),N(-1,9)三点纵坐标相同,故在同一水平线上,且斜率为0
∴存在k=0使直线l既是曲线y=f(x)的切线,又是曲线y=g(x)的切线
∴ f'(-1)=0=3a-6-6a => a=-2 => f(x)=-2x^3+3x^2+12x-11
设直线l在f(x)上的一个切点为M(m,f(m)),在g(x)上的一个切点为N(n,g(n))
直线l：y=kx+9 过定点P(0,9),若直线既是y=f(x)的切线,又是y=g(x)的切线
则必有P,M,N三点共线,即k(PM)=k(PN)=k(MN)=k
∴ [f(m)-9]/(m-0)=[g(n)-9]/(n-0)=[f(m)-g(n)]/(m-n)=k
即 [(-2m^3+3m^2+12m-11)-9]/m=[(3n^2+6n+12)-9]/n=k (1)
由f(x),g(x),y的函数求导可得,f'(x)=-6x^2+6x+12,g'(x)=6x+6,y'=k
由P,M,N三点共线知,经过三点的切线斜率相等,即f'(m)=g'(n)=y'=k,
∴-6m^2+6m+12=6n+6=k (2)
联立方程(1)(2),解方程组,可得m=2,n=-1,k=0
此时f(m)=f(2)=-2*2^3+3*2^2+12*2-11=9,∴M=M(2,9)
f(n)=f(-1)=3-6+12=9,∴N=N(-1,9)
易见,P(0,9),M(2,9),N(-1,9)三点纵坐标相同,故在同一水平线上,且斜率为0
∴存在k=0使直线l既是曲线y=f(x)的切线,又是曲线y=g(x)的切线
已知函数f（x）=ax3+3x2-6ax-11,g（x）=3x2+6x+12,直线l：y=kx+9,又f′（-1）=0
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已知函数f（x）=xlnx，g（x）=-x2+ax-3，
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