作业帮复数z的虚部不为0.且z^3+z+1=07.问|z|的取值范围?
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/10 10:26:57
复数z的虚部不为0.且z^3+z+1=07.问|z|的取值范围?
不好意思，题目重发一遍:复数z的虚部不为0,且z的三次方＋z＋1=0求|z|的取值范围？
不好意思，题目重发一遍:复数z的虚部不为0,且z的三次方＋z＋1=0求|z|的取值范围？
这个题的问法不对,至少不好.
三次方程z³+z+1 = 0有一个实根与一对虚根.
两个虚根的绝对值相等,是一个确定的数.
要求|z|的取值范围,真正的结果只能是一个数.
但是求出这个数需要解三次方程,肯定不是题目本意.
比较合适的问法是给出|z|一个估计,使误差不超过.
在实数范围内考虑函数f(x) = x³+x+1,由f'(x) = 3x²+1 > 0,可知f(x)单调递增,因此f(x)至多有一个实根.
由f(0) > 0,f(-1) < 0,可知f(x)在(-1,0)中有一个实根,设为a.
于是f(z) = 0另外两根为一对虚根,设为b,c.
b,c互为共轭,于是bc = |b|² = |c|².
又由根与系数关系得abc = -1,有|b|² = -1/a.
因此估计|b|的取值只需估计a的取值.
例如由f(-2/3) = 1/27 > 0,f(-7/10) = -43/1000 < 0,可得-7/10 < a < -2/3.
于是10/7 < |b|² < 3/2,即√(10/7) < |b| < √(3/2).
估计的结果是不唯一的,将a估计的越精确,|b|的估计也越精确.
当然真正精确的结果要把a求出来.
由三次方程求根公式,a = ³√((-9+√93)/18)-³√((9+√93)/18).
因此|b| = 1/√(³√((9+√93)/18)-³√((-9+√93)/18)),这才是确切的取值范围.
三次方程z³+z+1 = 0有一个实根与一对虚根.
两个虚根的绝对值相等,是一个确定的数.
要求|z|的取值范围,真正的结果只能是一个数.
但是求出这个数需要解三次方程,肯定不是题目本意.
比较合适的问法是给出|z|一个估计,使误差不超过.
在实数范围内考虑函数f(x) = x³+x+1,由f'(x) = 3x²+1 > 0,可知f(x)单调递增,因此f(x)至多有一个实根.
由f(0) > 0,f(-1) < 0,可知f(x)在(-1,0)中有一个实根,设为a.
于是f(z) = 0另外两根为一对虚根,设为b,c.
b,c互为共轭,于是bc = |b|² = |c|².
又由根与系数关系得abc = -1,有|b|² = -1/a.
因此估计|b|的取值只需估计a的取值.
例如由f(-2/3) = 1/27 > 0,f(-7/10) = -43/1000 < 0,可得-7/10 < a < -2/3.
于是10/7 < |b|² < 3/2,即√(10/7) < |b| < √(3/2).
估计的结果是不唯一的,将a估计的越精确,|b|的估计也越精确.
当然真正精确的结果要把a求出来.
由三次方程求根公式,a = ³√((-9+√93)/18)-³√((9+√93)/18).
因此|b| = 1/√(³√((9+√93)/18)-³√((-9+√93)/18)),这才是确切的取值范围.
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