求证：椭圆上一点P到一焦点距离最小,到另一焦点距离最大处在长轴的两顶点上.

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/22 14:25:56

证明:
可设椭圆方程为
(x²/a²)+(y²/b²)=1 (a＞b＞0)
两个焦点F1(-c,0),F2(c,0)
长轴的两个端点A1(-a,0),A2(a,0)
因点P在椭圆上,故可设P(acost,bsint),t∈R.
由两点间距离公式可得
|PF1|²=(acost+c)²+(bsint)²
=a²cos²t+2accost+c²+b²sin²t
=(a²-b²)cos²t+2accost+c²+b²
=c²cos²t+2accost+a²
=(a+ccost)²
由-1≤cost≤1 且a＞c＞0可知
0＜a-c≤a+ccost≤a+c
∴|PF1|=a+ccost.
∴|PF1|max=a+c,此时,cost=1,sint=0,P(a,0)
| PF1|min=a-c.此时,cost=-1,sint=0,P(-a,0)
又|PF1|+|PF2|=2a.
∴当|PF1|max=a+c时,|PF2|min=a-c,此时点P在长轴的一个端点上,
当|PF1|min=a-c时,|PF2|max=a+c,此时点P在长轴的一个端点上.
再问：谢谢你了啊，一会我看完给你加分
再答：客气了,无所谓的

求证：椭圆上一点P到一焦点距离最小,到另一焦点距离最大处在长轴的两顶点上. 椭圆上一点到两焦点的距离和已知椭圆x225+y216＝1上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则P到另一焦点距离为（　　）已知椭圆的焦点在Y轴上,椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为20,焦点离最远顶点的距离为16,求椭圆的标准方程己知椭圆的焦点在Y轴上,椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为20,焦点离最远顶点的距离为16,求椭圆的标准方椭圆上一点到两焦点距离多少? 椭圆上一点到两焦点距离之积最值椭圆上一点到焦点的距离最小值椭圆上任意一点到焦点的距离公式怎么求椭圆上一点P到左右准线的距离. (只知道椭圆方程和到左焦点距离) 已知椭圆上x²/25+y²/16=1上一点p到椭圆的一个焦点的距离为3,则点p到另一焦点的距离为焦点在X轴上的标准椭圆上的动点P到上顶点的最大距离等于该椭圆的中心到其准线的距离求离心率的取值范围