一道利用直角坐标系计算三重积分的题

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/21 09:26:10

一道利用直角坐标系计算三重积分的题
计算∫∫∫zdxdydz,其中Ω是由锥面z^2R^2=h^2(x^2+y^2)及平面z=h(h>0)围成的锥体

h > 0 ==> z = (h/R)√(x² + y²)
截面：x² + y² = R²,- √(R² - x²) ≤ y ≤ √(R² - x²)
∫∫∫ z dxdydz
= ∫(- R→R) dx ∫(- √(R² - x²)→√(R² - x²)) dy ∫(0→h) z dz
= (1/2)h²∫(- R→R) dx ∫(- √(R² - x²)→√(R² - x²)) dy
= (1/2)h²∫(- R→R) 2√(R² - x²) dx
= 2h²∫(0→R) √(R² - x²) dx,x = Rsinp,dx = Rcosp dp
= 2h²∫(0→π/2) R²cos²p dp
= h²R²∫(0→π/2) (1 + cos2p) dp
= h²R² * [ p + (1/2)sin2p ] +(0→π/2)
= h²R² * π/2
= (1/2)πh²R²
再问：但题的答案是 (1/4)πh²R² 呀？
再答：又用错了方法了哈，不好意思~~ ∫∫∫(Ω) z dxdydz ∫(0→1) z dz ∫∫(Dz) dxdy = ∫(0→h) z • πR²z²/h² dz = (1/4)πh²R²

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