作业帮证明极限,n分之一加到3n分之一 n趋向于无穷时 极限存在,并求该极限 这是中科院2012年高数甲第一道大题
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/24 01:05:01
证明极限,n分之一加到3n分之一 n趋向于无穷时 极限存在,并求该极限 这是中科院2012年高数甲第一道大题
有一个结论用在这儿就方便了,
结论是：数列xn=1+1/2+1/3+...+1/(n-1)-ln(n-1)的极限存在★
设这个极限为C,则有1+1/2+1/3+...+1/(n-1)-ln(n-1)=C+无穷小1▲
用此就有
[1+1/2+1/3+...+1/(n-1)]+
[1/n+1/n+1+1/n+2+1/n+3+...+1/2n]+
[1/2n+1+1/2n+2+1/2n+3+...+1/3n]-ln3n=C+无穷小2●
用●减去▲,得到关于【n分之一加到3n分之一】的表达式,即
1/n+1/n+1+1/n+2+...+1/3n=ln3n-ln(n-1)+无穷小2-无穷小1,故其极限为ln3.完毕.
再问： 用积分法做，虽然已经会了 继续追问吧
再答： 用定积分的话，原式=∫（0到2）1/（1+x）dx， 在用定义计算这个定积分的时候， 把区间[0，2]分成2n等份，并且取ξi=x（i-1）是小区间的左端点， 则每个小区间的长是△xi=1/n，积分和是从i=1加到i=2n， 这样做就可以得到了。
结论是：数列xn=1+1/2+1/3+...+1/(n-1)-ln(n-1)的极限存在★
设这个极限为C,则有1+1/2+1/3+...+1/(n-1)-ln(n-1)=C+无穷小1▲
用此就有
[1+1/2+1/3+...+1/(n-1)]+
[1/n+1/n+1+1/n+2+1/n+3+...+1/2n]+
[1/2n+1+1/2n+2+1/2n+3+...+1/3n]-ln3n=C+无穷小2●
用●减去▲,得到关于【n分之一加到3n分之一】的表达式,即
1/n+1/n+1+1/n+2+...+1/3n=ln3n-ln(n-1)+无穷小2-无穷小1,故其极限为ln3.完毕.
再问： 用积分法做，虽然已经会了 继续追问吧
再答： 用定积分的话，原式=∫（0到2）1/（1+x）dx， 在用定义计算这个定积分的时候， 把区间[0，2]分成2n等份，并且取ξi=x（i-1）是小区间的左端点， 则每个小区间的长是△xi=1/n，积分和是从i=1加到i=2n， 这样做就可以得到了。
证明极限,n分之一加到3n分之一 n趋向于无穷时 极限存在,并求该极限 这是中科院2012年高数甲第一道大题
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