有40个球,编号1到40.从中每次取一个,取完后放回,一共取5次.问1号球被选中1次,3次的概率分别是多少?

有40个球,编号1到40.从中每次取一个,取完后放回,一共取5次.问1号球被选中1次,3次的概率分别是多少?
其实完整的问题是：
40个球，编号1到40。实验：从40个球中每次取一个，取完后放回，一共取5次，然后记录这5次中最小的1个号码。这个实验重复40次。一共会得到40个号码。求40个号码中，出现2次1号球的概率。
出现2次3号球的概率又是多少？

说一下第一问：求40次中,出现2次1号球的概率.
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记 p 为“40个球有放回取五次,取到1号的概率”.其对立事件为,五次都没取到1号球.
易得对立事件的概率 （1 - p） = (39^5)÷(40^5)
故 p=1-(39^5)÷(40^5)
这个试验重复四十次,是伯努利概型.
出现两次1号球的概率：
P=C(2,40) × p^2 × (1-p)^38 ；% C(2,40)是组合数,表示40次中任意发生2次 %
把p、(1-p) 代入,得：
P=C(2,40) × [1-(39^5)÷(40^5)]^2 × [(39^5)÷(40^5)]^38
这么复杂的算式应该不要求算结果吧,给个表达式就行了.
再问： 非常感谢，每次的结果只有出现1号和不出现1号两种，的确是伯努利概型 用你的解法得到的是“取且仅取到2次1号”的概率吧？ 如果我要算“至少取到2次1号”的概率是不是把2,次，3次，4次，5次。。。。40次的概率加起来？ 如果问题换成“出现2次2号球的概率“，在前一部中，记录的是2号球的概率是不是 P（出现2号）= 1-P(出现一号)-P(不出现1号和2号) ？ 如果是的话P(不出现1号和2号)该怎么算？ 麻烦你了，加到120分了
再答： 给你完整地分析一下这个题吧……注意把“取球”和“记录”分开。 先分析一次试验的情况： 记录2号球的可能有 只取到一次2号球，那么其他4次就只能从3~40 这38个数里面取，共有 C(1,5)×38^4 种可能； 只取到两次2号球，那么其他3次就只能从3~40 这38个数里面取，共有 C(2,5)×38^3 种可能； 只取到三次2号球，那么其他2次就只能从3~40 这38个数里面取，共有 C(3,5)×38^2 种可能； 只取到四次2号球，那么其他1次就只能从3~40 这38个数里面取，共有 C(4,5)×38^1 种可能； 只取到五次2号球，那么其他0次就只能从3~40 这38个数里面取，共有 C(5,5)×38^0 种可能； 总可能数： C(1,5)×38^4 + C(2,5)×38^3 + C(3,5)×38^2 + C(4,5)×38^1 + C(5,5)×38^0 = (1+38)^5 - C(0,5)×38^5 .......二项式定理 = 39^5 - 38^5 所以 一次试验中，记录2号的概率p(2)为 (39^5 - 38^5) ÷ (40^5) 利用这种思路，容易将结论推广到 记录k号球 的情况 记录k号球的概率 p(k) 为：[ (1+40-k)^5 - (40 - k)^5 ] ÷ 40^5 易验证，当 k=1 时，p(1) = 1-(39^5)÷(40^5) ，与前面所求相符 接下来就好办了，每次试验的概率已知，那么利用伯努利公式可以解决。 比如第二问：“并问，这个概率和取到2次10号球的概率相同么？” P' = C(2,40) × [p(10)]^2 × [1-p(10)]^38 计算一下 P/P' 是否大于1 就知道了。 明显，取到2次10号球的概率更小。