选修4-5:《不等式选讲》
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/13 16:19:39
选修4-5:《不等式选讲》
已知函数f(x)=|x-2|-|x-5|.
(I)证明:-3≤f(x)≤3;
(Ⅱ)求不等式f(x)≥x2-8x+15的解集.
已知函数f(x)=|x-2|-|x-5|.
(I)证明:-3≤f(x)≤3;
(Ⅱ)求不等式f(x)≥x2-8x+15的解集.
(I)证明:当x≤2时,f(x)=2-x-(5-x)=-3;
当2<x<5时,f(x)=x-2-(5-x)=2x-7,所以-3<f(x)<3;
当x≥5 时,f(x)=x-2-(x-5)=3.
所以-3≤f(x)≤3.…(5分)
(II)由(I)可知,当x≤2时,f(x))≥x2-8x-8x+15,等价于-3≥x2-8x+15,
等价于(x-4)2+2≤0,解集为∅.
当2<x<5时,f(x)≥x2-8x-8x+15,等价于2x-7≥x2-8x-8x+15,即 x2-10x+22≤0,
解得 5-
3≤x≤5+
3,故不等式的解集为{x|5-
3≤x<5}.
当x≥5时,f(x)≥x2-8x+15,等价于x2-8x+12≤0,解得2≤x≤6,
∴不等式的解集为 {x|5≤x≤6}.
综上,不等式的解集为{x|5-
3≤x≤6}.…(10分)
当2<x<5时,f(x)=x-2-(5-x)=2x-7,所以-3<f(x)<3;
当x≥5 时,f(x)=x-2-(x-5)=3.
所以-3≤f(x)≤3.…(5分)
(II)由(I)可知,当x≤2时,f(x))≥x2-8x-8x+15,等价于-3≥x2-8x+15,
等价于(x-4)2+2≤0,解集为∅.
当2<x<5时,f(x)≥x2-8x-8x+15,等价于2x-7≥x2-8x-8x+15,即 x2-10x+22≤0,
解得 5-
3≤x≤5+
3,故不等式的解集为{x|5-
3≤x<5}.
当x≥5时,f(x)≥x2-8x+15,等价于x2-8x+12≤0,解得2≤x≤6,
∴不等式的解集为 {x|5≤x≤6}.
综上,不等式的解集为{x|5-
3≤x≤6}.…(10分)
选修4-5;不等式选讲
【选修4-5:不等式选讲】
选修4-5:不等式选讲
选修4-5:《不等式选讲》
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高中数学选修4-5不等式
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