作业帮一道函数题的困惑,请大神进来看看我的思路错在哪里~
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/21 12:18:00
一道函数题的困惑,请大神进来看看我的思路错在哪里~
题为：函数f(x),x∈R,若对于任意实数x1,x2,都有f(x1+x2)+f(x1-x2)=2f(x1)·(x2),求证f(x)为偶函数
我本想令x1=x2=0,然后求f(0),然后再令x1=0,从而通过f(x2)证明出奇偶性的,但是求出的f(0)却是等于0和1,我不知道自己在哪步出的错,这里面好像f(0)不能得零,否则按我的方法就无法证明了,请大神看看我在哪一步有疏忽,亦或是思路从头就错了.谢
题为：函数f(x),x∈R,若对于任意实数x1,x2,都有f(x1+x2)+f(x1-x2)=2f(x1)·(x2),求证f(x)为偶函数
我本想令x1=x2=0,然后求f(0),然后再令x1=0,从而通过f(x2)证明出奇偶性的,但是求出的f(0)却是等于0和1,我不知道自己在哪步出的错,这里面好像f(0)不能得零,否则按我的方法就无法证明了,请大神看看我在哪一步有疏忽,亦或是思路从头就错了.谢
先令x2=0,则f(x1)+f(x1)=2f(x1)×f(0) (题目漏了个f吧),∴f(0)=1
再令x1=0,则f(x2)+f(-x2)=2f(0)×f(x2)=2f(x2),∴f(x2)=f(-x2).故f(x)为偶函数.
再问： 这个答案我明白，但是我不明白我的思路错在哪里，请指教
再答： 嗯，你先令x1=x2=0，得到f(0)+f(0)=2f(0)²，这样f(0)=0也成立
然后若令x2=0，则f(x1)+f(x1)=2f(x1)f(0)，得f(x1)=0，也就是说，这种情况下，f(x)=0恒成立
f(x)是一个常值函数，也是偶函数。
令x1=0，f(x2)+f(-x2)=2f(0)f(x2)，此时f(x2)=-f(-x2)，当f(x2)=0时当然也成立。
再令x1=0,则f(x2)+f(-x2)=2f(0)×f(x2)=2f(x2),∴f(x2)=f(-x2).故f(x)为偶函数.
再问： 这个答案我明白，但是我不明白我的思路错在哪里，请指教
再答： 嗯，你先令x1=x2=0，得到f(0)+f(0)=2f(0)²，这样f(0)=0也成立
然后若令x2=0，则f(x1)+f(x1)=2f(x1)f(0)，得f(x1)=0，也就是说，这种情况下，f(x)=0恒成立
f(x)是一个常值函数，也是偶函数。
令x1=0，f(x2)+f(-x2)=2f(0)f(x2)，此时f(x2)=-f(-x2)，当f(x2)=0时当然也成立。