在如图的扇形中正方形的面积为30平方厘米,求阴影面积

在如图的扇形中正方形的面积为30平方厘米,求阴影面积

对于一些比较复杂的组合图形,有时直接分解有一定的困难,这时,可以通过把其中的部分图形进行平移、翻折或旋转,化难为易.有些图形可以根据“容斥问题“的原理来解答.在圆的半径r用小学知识无法求出时,可以把“r2”整体地代入面积公式求面积.
例题1.
如图20－1所示,求图中阴影部分的面积.








45○
10




45○

10










20－2
20－1


【思路导航】
解法一：阴影部分的一半,可以看做是扇形中减去一个等腰直角三角形（如图20－2）,等腰直角三角形的斜边等于圆的半径,斜边上的高等于斜边的一半,圆的半径为20÷2＝10厘米
【3.14×102×－10×（10÷2）】×2＝107（平方厘米）
答：阴影部分的面积是107平方厘米.
解法二：以等腰三角形底的中点为中心点.把图的右半部分向下旋转90度后,阴影部分的面积就变为从半径为10厘米的半圆面积中,减去两直角边为10厘米的等腰直角三角形的面积所得的差.









45○








20－3

（20÷2）2×－（20÷2）2×＝107（平方厘米）
答：阴影部分的面积是107平方厘米.
练习1
如图20－4所示,求阴影部分的面积（单位：厘米）
如图20－5所示,用一张斜边为29厘米的红色直角三角形纸片,一张斜边为49厘米的蓝色直角三角形纸片,一张黄色的正方形纸片,拼成一个直角三角形.求红蓝两张三角形纸片面积之和是多少?




C
45○



49
29
49







29
49
6
45○




B
45○

20－5
A
D

20－4

例题2.
如图20－6所示,求图中阴影部分的面积（单位：厘米）.







a
4

减去


20－7
6

20－6

【思路导航】
解法一：先用长方形的面积减去小扇形的面积,得空白部分（a）的面积,再用大扇形的面积减去空白部分（a）的面积.如图20－7所示.
3.14×62×－（6×4－3.14×42×）＝16.82（平方厘米）
解法二：把阴影部分看作（1）和（2）两部分如图20－8所示.把大、小两个扇形面积相加,刚好多计算了空白部分和阴影（1）的面积,即长方形的面积.






减
加
（2）
（1）









20－8

3.14×42×+3.14×62×－4×6＝16.28（平方厘米）
答：阴影部分的面积是16.82平方厘米.


A
练习2

A
B
C
D












2

60○


20－11
20－10
B
20－9
C
如图20－9所示,△ABC是等腰直角三角形,求阴影部分的面积（单位：厘米）.
如图20－10所示,三角形ABC是直角三角形,AC长4厘米,BC长2厘米.以AC、BC为直径画半圆,两个半圆的交点在AB边上.求图中阴影部分的面积.
如图20－11所示,图中平行四边形的一个角为600,两条边的长分别为6厘米和8厘米,高为5.2厘米.求图中阴影部分的面积.

例题3.
在图20－12中,正方形的边长是10厘米,求图中阴影部分的面积.






















20－14
20－13
20－12

【思路导航】
解法一：先用正方形的面积减去一个整圆的面积,得空部分的一半（如图20－13所示）,再用正方形的面积减去全部空白部分.
空白部分的一半：10×10－（10÷2）2×3.14＝21.5（平方厘米）
阴影部分的面积：10×10－21.5×2＝57（平方厘米）
解法二：把图中8个扇形的面积加在一起,正好多算了一个正方形（如图20－14所示）,而8个扇形的面积又正好等于两个整圆的面积.
（10÷2）2×3.14×2－10×10＝57（平方厘米）
答：阴影部分的面积是57平方厘米.
练习3

求下面各图形中阴影部分的面积（单位：厘米）.






3
4
10
10

5

20－17
20－16
20－15

例题4.
在正方形ABCD中,AC＝6厘米.求阴影部分的面积.

D
C
B
A
D
C







B
A
20－18


【思路导航】这道题的难点在于正方形的边长未知,这样扇形的半径也就不知道.但我们可以看出,AC是等腰直角三角形ACD的斜边.根据等腰直角三角形的对称性可知,斜边上的高等于斜边的一半（如图20－18所示）,我们可以求出等腰直角三角形ACD的面积,进而求出正方形ABCD的面积,即扇形半径的平方.这样虽然半径未求出,但可以求出半径的平方,也可以把半径的平方直接代入圆面积公式计算.
既是正方形的面积,又是半径的平方为：6×（6÷2）×2＝18（平方厘米）
阴影部分的面积为：18－18×3.14÷4＝3.87（平方厘米）
答：阴影部分的面积是3.87平方厘米.
练习4
如图20－19、20－20所示,图形中正方形的面积都是50平方厘米,分别求出每个图形中阴影部分的面积.
如图20－21所示,正方形中对角线长10厘米,过正方形两个相对的顶点以其边长为半径分别做弧.求图形中阴影部分的面积（试一试,你能想出几种办法）.











20－21
20－20
20－19

例题5.
在图20－22的扇形中,正方形的面积是30平方厘米.求阴影部分的面积.







A
B










A
B

20－22


【思路导航】阴影部分的面积等于扇形的面积减去正方形的面积.可是扇形的半径未知,又无法求出,所以我们寻求正方形的面积与扇形面积的半径之间的关系.我们以扇形的半径为边长做一个新的正方形（如图20－23所示）,从图中可以看出,新正方形的面积是30×2＝60平方厘米,即扇形半径的平方等于60.这样虽然半径未求出,但能求出半径的平方,再把半径的平等直接代入公式计算.
3.14×（30×2）×－30＝17.1（平方厘米）
答：阴影部分的面积是17.1平方厘米.
练习5
如图20－24所示,平行四边形的面积是100平方厘米,求阴影部分的面积.
如图20－25所示,O是小圆的圆心,CO垂直于AB,三角形ABC的面积是45平方厘米,求阴影部分的面积.

A
A
D
如图20－26所示,半圆的面积是62.8平方厘米,求阴影部分的面积.








O
C

C
B
O

45○
B

20－26
20－25
20－24
答案：
练1
如图答20－1所示,因三角形BCD中BC边上高等于BC的一半,所以阴影部分的面积是：62×3.14×－6×（6÷2）×＝5.13平方厘米
如图答20－2所示,将红色直角三角形纸片旋转900,红色和蓝色的两个直角三角形就拼成了一个直角边分别是49厘米和29厘米的直角三角形,因此,所求的面积为：
49×29×＝710.5平方厘米
练2
如图答20－3所示,可以看做两个半圆重叠在一起,从中减去一个三角形的面积就得到阴影部分的面积.
（2÷2）2×3.14××2－2×2×＝1.14平方厘米
思路与第一题相同
（4÷2）2×3.14×+（2÷2）2×3.14×－4×2×＝3.85平方厘米
如图答20－4所示,用大小两个扇形面积和减去一个平行四边形的面积,即得到阴影部分的一半,因此阴影部分的面积是：
【（82+62）×3.14×－8×5.2】×2＝21平方厘米
练3
如图答20－5所示,阴影部分的面积等于四个半圆的面积减去一个正方形的面积,即：
（10÷2）2×3.14××4－10×10＝57平方厘米
如图答20－6所示,阴影部分的面积等于半圆与扇形面积的和,减去一个三角形的面积,即：102×3.14×+（10÷2）2×3.14×－10×10× ＝28.5平方厘米
如图答20－7所示,整个图形的面积等于两个半圆的面积加上一个三角形的面积,用整个图形的面积减去一个最大半圆的面积就等于阴影部分的面积,即：
（4÷2）2×3.14×+（3÷2）2×3.14×+4×3×－（5÷2）2×3.14×＝6平方厘米
练4
（1）因为圆的半径的平方等于正方形面积的,所以阴影部分的面积是
（50÷4）×3.14＝39.25平方厘米
（2）因为扇形半径的平方等于正方形的面积,所以,阴影部分的面积是
50－50×3.14×＝1075平方厘米
提示：仔细阅读例4,仿照例4先求扇形半径的平方,然后设法求出阴影部分的面积.
10×（10÷2）×3.14××2－10×（10÷2）＝28.5平方厘米
练5
如图答20－8所示,连结AC可以看出平行四边形面积的一半等于圆半径的平方,所以,阴影部分的面积是100÷2×3.14×－100×＝14.25平方厘米
如图答20－9所示,
（1）因为三角形ABC的面积等于小圆半径的平方,所以小圆的面积的一半是45×3.14×＝70.65平方厘米
（2）因为大圆半径的平方等于三角形ABC面积的2倍,所以大圆的面积的是45×2×3.14×＝70.65平方厘米
（3）弓形AB的面积是70.65－45＝25.65平方厘米
（4）阴影部分的面积是70.65－25.65＝45平方厘米
3、 如图答20－10所示,
（1）半圆半径的平方是62.8×2+3.14＝40平方厘米
（2）三角形AOB的面积是40÷2＝20平方厘米
（3）阴影部分所在圆的半径的平方是40×2＝80平方厘米
（4）阴影部分的面积是80×3.14×－20＝11.4平方厘米