一个关于勾股定理的数学问题

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/10 02:01:13

一个关于勾股定理的数学问题
在△ABC中,CD是中线,AC²+BC²=4CD²,求证△ABC是直角三角形.

证明,
延长CD至E,并使DE=DC.
连接AE,BE.
则因为D是AB中点,所以AD=DB.
又CD=DE,且角BDC=角ADE是对顶角,
所以三角形BCD全等于三角形ADE,
因此BC = AE,同理有AC=BE,所以ACBE是平行四边形.
在三角形CAE中,AE=BC,CE=2CD,
因为AC^2 + BC^2 = AC^2 + AE^2 = 4CD^2 = (2CD)^2 = CE^2
即AC^2 + AE^2 = CE^2
所以ACE是直角三角形,角CAE=90度.
所以角ACB=180-角CAE=90度,故ABC是直角三角形.
希望有用.

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