已知x=-2是函数f（x）=（ax+1）ex的一个极值点．

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/14 06:11:20

已知x=-2是函数f（x）=（ax+1）e^x的一个极值点．
（I）求实数a的值；
（Ⅱ）若x∈[-4，0]，求函数f（x）的单调区间及最大值．

（I）∵f（x）=（ax+1）e^x
∴f′（x）=（ax+a+1）e^x
∵x=-2是函数f（x）=（ax+1）e^x的一个极值点．
∴f′（-2）=（-2a+a+1）e^x=0
即-a+1=0
解得a=1
（II）由（I）得f（x）=（x+1）e^x，
f′（x）=（x+2）e^x
∵x∈[-4，-2）时，f′（x）＜0，此时函数f（x）为减函数；
x∈（-2，0]时，f′（x）＞0，此时函数f（x）为增函数；
又∵f（-4）=-3e^-4，f（0）=1＞f（-4），
故函数f（x）的单调递减区间为[-4，-2），函数f（x）的单调递增区间为（-2，0]，最大值为1

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