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求函数y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的最小值,并写出使函数y取最小值的x的集合.

来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/09 07:05:31
求函数y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的最小值,并写出使函数y取最小值的x的集合.
y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x
=(sin2x+cos2x)+2sinxcosx+2cos2x
=1+sin2x+(1+cos2x)
=2+sin2x+cos2x
=2+
2sin(2x+
π
4).
当sin(2x+
π
4)=-1时,y取得最小值2-
2当且仅当2x+
π
4=2kπ-
π
2即x=kπ-
3
8π时取最小,
取最小值的x的集合为{x|x=kπ-
3
8π,k∈Z}.