证明不等式:当x>1时,2根号x>3-x分之一

设：f(x)=e^x－ex则：f'(x)=e^x－e当x>1时,f'(x)>0即：函数f(x)在x>1时是递增的,则：对于任意x>1,都有：f(x)>f(1)=0成立,即：对一切x>1,有：e^x－e

证：设f(x)=1+x/2-√（1+x）则f'(x)=1/2-1/[2√（1+x）]=1/2[1-1/√（1+x）]因为1-1/√（1+x)＞0所以f'(x)＞0f(x)为增函数f(x)＞f(0)=0

证明当x>0时,xln(x+√1+x^2)+1>√(1+x^2).【证明】设f(x)=1+xln[x+√(1+x^2)]-√（1+x^2）,x＞0,则f'(x)=ln[x+√（1+x^2)]+x[1+

将f(x)带入有2x/（x+1）=1下0

证明：令f(x)=e^(2x)-2x-1f'(x)=2e^(2x)-2=2[e^(2x)-1]当x>0时,e^(2x)>1∴f'(x)>0f(x)在(0,+∞)上单调递增又f(0)=e^0-1=0∴f

反证法：假设x+1大于或等于1+x/2x>0时,方程两边都大于零,所以两边平方得：x+1大于或等于x+1+x^2/4即：0大于或等于x^2/4与条件x>0矛盾,假设不成立,所以x+1

令f(x)=ln(1+x)-x+1/2x^2f'(x)=1/(1+x)-1+x=x^2/(x+1)>0单调递增在x>0上又f(0)=0-0+0=0f(x)>f(0)=0故成立

f(x)=ln(x+1)-x+x^2/2f'=1/(x+1)-1+x=(x^2+x-x-1+1)/(x+1)=(x^2)/(x+1)当x>0时,f'=(x^2)/(x+1)>0f(x)=ln(x+1)

证明:当x>0时,成立不等式x/(1+x²)

f(x)=x-ln(x+1)f'(x)=1-1/(x+1)=x/(x+1)x>1,所以f'(x)>0,增函数所以x>1,f(x)>f(1)=1-ln2>0f(x)>0所以x>0时,x>ln(x+1)

记f(x)=e^x-x-1则f(0)=0当x>0时,f'(x)=e^x-1>0所以f(x)在x>o为增函数,从而f(x)>f(0)=0,即e^x>x+1

x>0则1+x+x²/4>1+x>0所以(1+x/2)²>1+x>0所以1+x/2>√(1+x)

作等价变形：不等式f(x)0,x-1≥0,x+1>0,所以-x(x-1)/(x+1)≤0对数函数y=lnx的底数=e>1,所以x≥1时,lnx≥0故不等式f(x)

取f(x)=e^（2x）-（1+2x）f`=2e^(2x)-2当x>0时,f`>2e^0-2=0所以f（x）在x>0是单调递增,即f(x)>f(0)=0e^（2x）-（1+2x）>0,所以1+2x

cosx=1-2sin²（x/2）因为sina＜a,所以sin（x/2）＜（x/2）,所以sin²（x/2）＜（x/2）²于是1-2sin²（x/2）＞1-2（

证明：令f(x)=e^x-(1+x+x^2/2),则有f'(x)=e^x-(x+1)f''(x)=e^x-1易知f''(x)在R上单调递增函数.所以,当x>0时,f''(x)>f''(0)=0,则f'

证明：（√x-1+x-4)²-(√x-2+√x-3)²=(x-1+x-4+2√x²-5x+4)-(x-2+x-3+2√x²-5x+6)=2(√x²-5

设函数f(x)=arctanx,g(x)=x,x＞0f(0)=0,g(0)=0f'(x)=1/(1+x²)＞0,g'(x)=1＞0f'(x)-g'(x)=1/(1+x²)-1=-x

设f(x)=2√x+1/x-3x>1f′(x)=1/√x-1/x²=1/√x(1-1/x^(3/2))>0f(x)在[1,+∞)单调增加.所以当x>1时,f(x)>f(1)=0即2√x+1/

当x=1时,左边=0=右边.当00所以F(x)在x>1内是增函数即F(x)>F(1)=0,(x+1)Inx>(x-1)成立.即(x^2-1)Inx>=(x-1)^2综合可得当x>0时,(x^2-1)I