作业帮设数列{Ⅹn}有界,又limyn=o,证明lⅰmxnyn=0
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/15 09:15:45
证明：因为数列{xn}有界,所以存在常数M,对任意n,都有|xn|N时,恒有|yn|
|xn|≤M-Myn≤xn.yn≤Myn-Mlim(n->∞)yn≤lim(n->∞)xn.yn≤Mlim(n->∞)yn0≤lim(n->∞)xn.yn≤0=>lim(n->∞)xn.yn=0
证明：设存在一个正数M>0,使得一切n,都能得到Xn≦M,limXnYn((n→∞)=MlimYn((n→∞)=M*0=0
数列Xn有界,即!Xn!0,总有N>0使得当n>N时!Yn-0!0,总有N>0使得当n>N时!XnYn-0!
用定义证明即可,因为数列{Xn}有界所以存在常数C》0,使得|Xn|N时,|Yn|N的时候|XnYn|=|Xn||Yn|
证明XnYn的极限是0吧?参见“无穷小与有界函数的乘积是无穷小”的证明
证明：因为数列{Xn}有界所以不妨假设|Xn|0)因为数列{Yn}的极限是0则对于任意给出的e,总存在N,使得n>N时,|Yn|N的时候|XnYn|=|Xn||Yn|
如果存在M>0,对任意的n都有：|xn|≤M,称数列{xn}有界.所以lim(n->正无穷)Xn=M故lim(n->正无穷)XnYn=[lim(n->正无穷)Xn]*[lim(n->正无穷)Yn]=M
数列Xn有界,即!Xn!0,总有N>0使得当n>N时!Yn-0!0,总有N>0使得当n>N时!XnYn-0!
因为limyn=0所以对任意的ε1>0,存在N1,使n>N1时,有|yn|N时,有|xnyn|=|xn|*|yn|
由Xn有界,知道存在正实数a,使得|Xn|≤a恒成立则|XnYn-0|≤a|Yn-0|由lim(n-∞)Yn=0知道,对于任意正数ξ＞0,都存在实数N,使得n＞N时|Yn-0|＜ξ/a,即|XnYn-
因为数列{Xn}有界所以-M
好难阿再答：对于任意的ε>0,取N=[1/ε]+1，则当n>N时|√(n²+1)/n-1|=|[√(n²+1)-n]/n|=|1/{n[√(n²+1)+n]}|≤1/n
（Xn）有界,所以存在正数M使得0≤|Xn|≤M,所以0≤|XnYn|≤M|Yn|右边的极限是0根据夹逼原则,lim|XnYn|=0所以limXnYn=0.也可以用定义证明.有疑问请追问,满意请选为满
因为{Xn}有界,不妨设limXn在x趋于无穷大时,limXn小于等于M,然后有LimXnYn小于等于M*LimYn=0,所以有LimXnYn=0
因为数列{X}有界,所以设绝对值X
用定义证明.｛an｝有界,则存在正数M,使得|an|≤M.所以|anbn|≤M|bn|.因为bn的极限是0,所以对于任意的正数ε,存在正整数N,当n＞N时,|bn|＜ε/M.所以,当n＞N时,|anb