设x,y是正实数,则代数式x 2x y

a是方程x2+x-1=0的一个正的实数根a>0a+1/a>0a^2+a-1=0a^2+a=1a^2-1=aa-1/a=(a^2-1)/a=1两边平方a^2-2+1/a^2=1a^2+1/a^2=3(a

原式得(x2-2x+1)+(y2+4y+4)+2=(x-1)^2+(y+2)^2+2所以,当x=1,y=-2时,有最小值=2

z=x/(2x+y)+2y/(x+2y)=(x²+6xy+2y²)/(2x²+5xy+2y²)分子分母同时除以y²可得z=(x²/y

4XY=X×（4Y）小于或等于（X+4Y）/2再求平方因此4XY小于或等于4/2再求平方就等于4XY的最大值就等于1最大值在X等于4Y等于2的时候取得

∵xy≤（（x＋y）/2）²∴x+y+xy=2≤（（x＋y）/2）²＋（x＋y）∴1/4（x+y）²＋（x＋y）-2≥0∵x,y属于正实数∴x+y＞0∴x+y≥（-4＋4

x>0,y>0则x+y>=2(xy)^(1/2)xy-(x+y)=1xy-2(xy)^(1/2)-1>=0解得(xy)^(1/2)=1+2^(1/2)又xy>0xy>=(1+2^(1/2))^2=3+

(x+4y)^2=1600=x^2+8xy+16y^2>=8xy+2√(x^2*16y^2)=8xy+8xy=16xy16xy

∵x2+y2+xy=1∴（x+y）2=1+xy∵xy≤(x+y)24∴（x+y）2-1≤(x+y)24，整理求得-233≤x+y≤233，∴x+y的最大值是233．故答案为：233．

设x+2=s，y+1=t，则s+t=x+y+3=4，所以x2x+2+y2y+1=(s−2)2s+(t−1)2t＝(s−4+4s)+(t−2+1t)=(s+t)+(4s+1t)−6＝(4s+1t)−2．

原式=（x2+2x+1）+（4x2-8xy+4y2）=4（x-y）2+（x+1）2+3，∵4（x-y）2和（x+1）2的最小值是0，即原式=0+0+3=3，∴5x2+4y2-8xy+2x+4的最小值为

∵4x2+y2+xy=1∴（2x+y）2-3xy=1令t=2x+y则y=t-2x∴t2-3（t-2x）x=1即6x2-3tx+t2-1=0∴△=9t2-24（t2-1）=-15t2+24≥0解得−21

由基本不等式得x2+y2>=2根号(x2y2)=2丨xy丨,即2丨xy丨

∵x为正实数，∴由函数y=x2-x+1x，得y=（x-1）2+（x-1x）2+1，∵（x-1）2≥0，（x-1x）2≥0，∴（x-1）2+（x-1x）2+1≥1，即y≥1；∴函数y=x2-x+1x的最

x^2+1/2y^2>=√2xyz^2+1/2y^2>=√2yz相加得x^2+y^2+z^2>=√2(xy+yz)所以(xy+yz)/(x^2+y^2+z^2)

由正实数x，y，z满足x2-3xy+4y2-z=0，∴z=x2-3xy+4y2．∴xyz=xyx2−3xy+4y2=1xy+4yx−3≤12xy•4yx−3=1，当且仅当x=2y＞0时取等号，此时z=

令：x=a+b,y=a-bx^2-xy+y^2-1=0==>a^2+3*b^2=1,a=sinT,b=(√3)(cosT)/3x^2-y^2=4ab=(2√3)(sin2T)/3>0因此：最小值0=

由32+x+32+y=1，化为3（2+y）+3（2+x）=（2+x）（2+y），整理为xy=x+y+8，∵x，y均为正实数，∴xy=x+y+8≥2xy+8，∴(xy)2−2xy−8≥0，解得xy≥4，

y'=2x-1-1/x^2=0-->2x^3-x^2-1=0-->2x^3-2x^2+x^2-1=0-->(x-1)(2x^2+x+1)=0-->x=1y"=2+2/x^3>0因此最小值为y(1)=1

x+2y>=2√(2xy)所以xy

xy=8+x+y>=8+2√xy令√xy=t>0t²-2t-8>=0(t+2)(t-4)>=0所以t>=4即√xy的最小值=4xy的最小值=16.