设A为可逆矩阵,λ是它的一个特征值,证明:λ≠0且λ-1是A-1的一个特征值.-搜答案-智慧作业帮

AX=λXA^(-1)AX=λA^(-1)XX=λA^(-1)X(1/λ)X=A^(-1)X1/λ是A^(-1)的特征值

跟你说下过程吧,左边放原矩阵,右边放一个单位矩阵,对这个大矩阵一起做初等行变换（注意只做行变换）,把左边的那个矩阵变成一个单位阵,这样右边这个就是原矩阵的可逆矩阵了.可以理解吗?

利用行列式的性质|ABBA|=|A+BBA+BA|=|A+BB0A-B|=|A+B||A-B|再根据矩阵可逆的充要条件是行列式不为0可知命题成立.

证:设α是A的属于特征值λ的特征向量,则Aα=λα两边左乘A*得A*Aα=λA*α所以有|A|α=λA*α,即dα=λA*α因为A可逆,所以A的特征值都不等于0所以有(d/λ)α=A*α即d/λ是A*

设α是A的特征值2的特征向量，则Aα=2α又A可逆∴α=2A-1α，即A−1α＝12α∴(13A)−1α＝3A−1α=32α∴32是矩阵(13A)−1的一个特征值．

有如下定理:若可逆阵A有特征值k(k一定不为0)则A逆有特征值1/k,A^2特征值k^2.(mA)有特征值mk.(以上结论容易证明)由此,本题:A的特征值-3,A^2的特征值9,1/3*A^2的特征值

∵C是n阶可逆矩阵∴C可以表示成若干个初等矩阵之积，即C=P1P2…Ps，其中Pi（i=1，2，…，s）均为初等矩阵．而：B=AC，∴B=AP1P2…Ps，即B是A经过s次初等列变换后得到的，又初等变

由于C可逆,所以r(AC)=r(A)即有r=r1故(C)正确.

∵A为n阶可逆矩阵，λ是A的特征值，∴A的行列式值不为0，且Ax=λx⇒A*（Ax）=A*（λx）⇒|A|x=λ（A*x）⇒A*x=.A.λX，故选：B．

1.A不可逆|A|=0AA*=|A|E=O假设|A*|≠0则A=O显然A*=O,与假设矛盾,所以|A*|=0即|A*|=|A|n-1=02.A可逆|A|≠0AA*=|A|EA*也可逆又|AA*|=||

如果(A2)-1意思是（A^2）^-1,则矩阵(A2)-1必有一个特征值等于1/4.设X是λ=2对应的特征向量,则AX=2X,A^2X=AAX=2AX=4X,即A^2X=4X,故得（1/4）X=（A^

λ是矩阵A的一个特征值,则存在非零向量X,AX=λX,故(1/λ)X=A^-1X,即A^-1X=(1/λ)X,1/λ是n阶矩阵A-1的一个特征值

证:设A是可逆的对称矩阵,则A'=A.(对称的充要条件)所以(A^(-1))'=(A')^(-1)=A^(-1).(性质:逆的转置等于转置的逆)所以A^(-1)是对称矩阵.(对称的充要条件)

AB都是错的.A中,要排除零解.B中,应为正的1/aC中A*=|A|*A的逆故该特征值为此D中依特征值的性质若a是A的特征值则g(a)是g(A)的特征值可以得出

2-2*(1/2)=1.

2对于1,即使A和B同阶可逆,A+B也不一定可逆,例如设A=-B,此时A+B为0矩阵就不可逆

Aα=λα,两边左乘A,得A^2α=Aλα=λAα=λλα=λ^2α,所以λ^2是A^2的特征根,α是对应的特征向量.答案选C

选A因为|xE-AT|=|(xE-A)T|=|xE-A|

证明:对任一n维非零向量X因为A可逆,所以AX≠0.所以X^T(A^TA)X=(AX)^T(AX)>0[内积的非负性][这里用到A是实矩阵的条件]所以A^TA是正定的.

(1)因为Aζ=λζ所以A*Aζ=λA*ζ所以|A|ζ=λA*ζ所以A*ζ=(|A|/λ)ζ所以|A|/λ是A*的特征值,ζ是对应的特征向量.(2)因为Aζ=λζ所以P^-1AP(P^-1ζ)=λP^