设A={},求正交矩阵Q,似的Q-1AQ为对角矩阵

正交矩阵是实矩阵.①.它的特征值的模都是1.②.它的特征值除±1外,一定是成对出现的共轭虚数（特征方程为实系数）.每一对之积为1（模平方）.注意|A|＝全体特征值的积.而|A|＝-1.如果A没有实特征

ank(A)=1是没错,但是A的特征值是11,0,0而不是7,0,0（看一下trace(A)就知道了）

做特征值分解就好了.求A的特征值,即det(A-λI)=0,可得λ=5,2,-1所以,A-5I=-4-20-2-3-20-2-2所以,特征向量为c(1,-2,2),取长度为1的,得(1/3,-2/3,

由于A是对称矩阵,因此存在正交矩阵T使得T^（-1）AT为对角矩阵,其中对角线上的元素为A的所有特征值,因此只要证A的特征值只有0和1即可由于A^2=A,所以A的特征是0或1,证毕

第一步.计算A的特征多项式f(x)=|xE-A|=(x-7)^2(x+2),从而A的特征值为x_1=7,x_2=-2第二步求特征值的线性无关的特征向量特征值7的特征向量满足(7E-A)X=0,解方程组

λE-A=λ-2000λ-10-1λ|λE-A|=λ^2(λ-2)-(λ-2)=(λ+1)(λ-1)(λ-2)所以矩阵A的特征值为λ1=-1,λ2=1,λ3=2当λ1=-1时,方程组(λE-A)X=0

这个命题不对!反例:A=0-101-20-10-1则A可逆但A的3重特征值只有一个线性无关的特征向量,A不能对角化!再问：这是考试一道原题--···而且题目我是原封不动打上来的··

不仅如此,还有A1.,……,An都相似于对角阵,AiAj＝AjAi.（i≠j）.则存在公共的满秩方阵P.使P^（-1）AiPi＝1,……,n.同时为对角形.（这是1978年武汉大学代数方向硕士生入学复

问题的关键在与证明存在一组由A的特征向量组成的规范正交基.为此需要引如欧几里德空间中对称变换.主要有以下几个结果:1.一个变换是对称变换当且仅当其在一组规范正交基下的矩阵为对称矩阵2.实对称矩阵的特征

±1再问：怎么算？再答：

正交矩阵的定义:设A为n阶方阵,若A'A=E,则称A为正交矩阵.其中A'表示A的转置矩阵.证明:因为A为正交矩阵,所以A'A=E由转置的性质(AB)'=B'A'所以有(A^2)'(A^2)=(A'A'

|A-λE|=-2-λ111-2-λ111-2-λ=-λ(λ+3)^2所以A的特征值为0,-3,-3AX=0的基础解系为a1=(1,1,1)^T(A+3E)X=0的基础解系为a2=(1,-1,0)^T

=(Aa)^TAa=a^T(A^TA)a=a^Ta=故1成立.2,应该为=.根据1,考虑=分别展开,对比可得2.

|A-λE|=(8-λ)(2-λ)^2A的特征值为2,2,8(A-2E)x=0的正交的基础解系为a1=(1,-1,0)^T,a2=(1,1,-2)^T所以属于特征值2的全部特征值为k1a1+k2a2,

λ1=0,λ2=λ3=-3属于0的特征向量α1=（1,1,1）^T属于-3的特征向量α2=（1,-1,0）^T,α3=（1,0,-1）^T正交化,单位化：β1=（1/√3,1/√3,1/√3）^T,β

因为A是正交矩阵所以AA^T=E故有A^TA=E=A^T(A^T)^T所以A^T是正交矩阵再由AA^T=E等式两边取行列式得|A|^2=|A||A|=|A||A^T|=|AA^T|=|E|=1所以|A

1-1-1-11-1-1-11|A-λE|=1-λ-1-1-11-λ-1-1-11-λ=-(λ+1)(λ-2)^2所以A的特征值为-1,2,2解出(A+E)X=0的基础解系:a1=(1,1,1)^T解

由于A为正交矩阵,所以|A|^2=1,A^-1也是正交矩阵,((A^-1)^T(A^-1)=(A^T)^-1(A^-1)=(AA^T)^-1=E^-1=E),所以(A*)^TA*=(|A|A^-1)^

由A为正交矩阵的定义,有A^T*A=E两边取行列式,有|A^T*A|=|A^T|*|A|=|E|即|A|^2=1,|A|=±1

|A-λE|=2-λ-20-21-λ-20-2-λr1+(1/2)(2-λ)r2-r30(1-λ)(2-λ)/2-2(1-λ)-21-λ-20-2-λ第1行提出(1-λ),再按第1列展开=2乘(2-λ