作业帮计算复变函数积分∫(丨z丨=10 3)z (9-z^2)(z i)dz
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/13 00:37:49
其中第三个等号应用重要积分
∫dx/(1+x^4)=∫dx/[x^2+1)^2-(√2x)^2]=∫dx/[x^2+√2x+1)(x^2-√2x+1)]=(1/2√2)∫[(x^2+√2x+1)-(x^2-√2x+1)]dx/[
解:设Z=x+yi,z'=x-yiz+z'=2xu(x,y)=2x,v(x,y)=0所以积分:(|Z|=1)(z+z')dz=积分;(|z|=1)2xdx+i积分:(|z|=1)2xdyx=cost,
这题也用不了柯西积分公式啊,用柯西积分公式需要能把被积函数化成一定的形式,本题用和柯西积分公式本质相同的留数定理计算.被积函数只要z=i/2和z=-1两个一级极点,并且它们都在积分圆周|z|=2内部,
因为f(z)=1/(z^2+2z+1)(z^+1)在/z/再问：和我想的一样。不过我有个同学说这题能用留数解出，你确定f(z)在C内没有极点？没有极点还能用留数解？再答：因为在C没无极点，所以留数为零
（1）围绕逆时针旋转的圆|z-i|=2∮(z^2-4)/(z^2+4)dz=∮(z^2-4)/[(z+2i)(z-2i)]dz可见被积函数在圆|z-i|=2内部仅在点z=-2i处不解析所以根据柯西积分
是下面的那个积分吗?如果是的话那么+i和-i是它的二级极点所以Res(f(z),i)=1/(i+i)*i=1/2;Res(f(z),-i)=1/(-i-i)*(-i)=0.5所以它的积分是2*圆周率（
是2πi.用柯西积分公式f(z0)=1/2πi∮f(z)/(z-z0)dz.可以令f(z)=z,则z0=1,所以此积分为2πi.
再问：变负无穷到正无穷的时候是因为分子分母都是奇函数然后商是偶函数吗？再答：是的
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令exp(it)=z,则cost=(z+1/z)/2exp(it)*i*dt=dz,即dt=dz/(iz)代入得：原式=1/2*[∫（从0到2π）(1+2cost)/(5+4cost)dt]=1/2*
在C内(|z|=2),z=0是f(z)=[ln(1+z)]/z的孤立奇点,但z=-1不是f(z)的孤立奇点,ln(1+z)在z=-1以及小于-1的负实轴上不解析,所以f(z)在z=-1以及小于-1的负
分析：红框就是把sin(x),cos(x),dx代入即可.由于x肯定是在[0,2π],所以当你设了z=cos(x)+isin(x)后,就表示z一定是在单位圆上的复数啊,|z|=sqrt(cos^2+s
这个很简单啊,和实数的积分是完全类似的.∫[0→i]e^-zdz=-e^(-z)[0→i]=1-e^(-i)=1-cos1+isin1
收敛域0<|z|<+∞由于展开式再收敛羽内一致收敛,积分和求和可交换在进一步利用重要积分注意到展开式没有-1次幂项,所以每项积分值为0所以总的积分值为0
e^z=1+√3i=2e^i(π/3)=e^[ln2+i(2kπ+π/3)]得：z=ln2+i(2kπ+π/3),这里k为任意整数
若z是实数的话,则z=ln(1+√3)若z是复数,则∵exp(2πi)=1∴expz是周期函数,周期是2πi∴z=ln(1+√3)+2kπi,(k∈Z)也是解∴解为z=ln(1+√3)+2kπi