若f(x)在R内连续

试着证明一下.反证法.假设f（x）在某一个无理数点不为0,那么不妨设为f(x0)=a>0,根据连续函数的保号性可知,存在某一个x0的邻域e,在这个e内f（x）>0,实数有下列性质（实数的稠密性）：任意

令g(x)=f(x)x∈(a,b)g(x)=f(a+)x=ag(x)=f(b-)x=b显然g(x)在[a,b]内连续,所以一致连续.当然在(a,b)连续.g(x)在(a,b)正好为f(x)

反证法：设f（x）在（－∞,＋∞）内无界因为f(x)在（－∞,＋∞）内连续,且f（x）在（－∞,＋∞）内无界,则当x趋于∞时f（x）也趋于∞则limf(x)不存在与已知矛盾所以若函数f(x)在（－∞,

由于:x趋于无穷时,f(x)的极限存在,不妨设极限为A,按定义,对于任意正数s不妨取s=1,存在正数M,使当|x|>M时,有|f(x)-A|

对任意自然数n,取sn=1/(2nπ+π/2),tn=1/2nπ我们有0

对F（x,y）中的x求偏导得f‘（x0）再对y求偏导得0要求F（x,y）连续利用可导必连续定理对其求x和y的偏导得F’（x0,y0）=f‘（x0）+0为常数所以连续

f(x+y)=f(x)+f(y)取x=y=0,得f(0)而f(x)在x=0处连续,故lim(h->0)f(h)=f(0)=0故对任意的x,有lim(h->0)f(x+h)=lim(h->0)(f(x)

先取一个足够大的闭区间,则f(x)在此闭区间上有界再根据x->∞,f(x)极限存在的性质,可以确定在此闭区间之外f(x)也是有界的

证明：因为f(x)在区间I内连续,所以对任意的I内的点x0,当x趋于x0时,一定有limf(x)=f(x0)由极限的四则运算法则：两个函数在点x0处收敛,则其乘积也在点x0处收敛；即当x趋于x0时,l

再问：为什么f(x)-f(t)

CA.比如f(x)=tan(x)在（-pi/2,pi/2)内连续,但是f(x)无界B.同上,f(x)=tan(x)无最大值,也无最小值D.如果是分段函数,该条不成立,比如函数f(x)=100,x=1;

容易由条件知道F(x)＝kx－f(x)是R上的递增函数,且有|f(x)－f(0)|0时,于是g(x)＝x－f(x)满足g(x)＝x－f(x)+f(0)－f(0)＝(1－k)x+【kx－(f(x)－f(

因为lim(x→正无穷)f(x)存在,所以存在X>0,M>0使得,当|x|>X时,|f(x)|≤M又在区间【-X,X】上函数是连续的,根据闭区间函数连续的定理可知,f(x)在【-X,X】上有界,从而f

设lim(x→∞)f(x)=A.则由定义：任给ε>0,存在M>0,当|x|>M时,有|f(x)-A|0,也必存在M>0,当|x|>M时,有|f(x)-A|M时,有|f(x)|0,任给x属于[-M-1,

这是1986年武汉大学硕士生入学试题.为确定,设f′（x）单调增加.任取c∈（a,b）.f′（c）＝lim（h→0-）｛[f（c+h）-f（c）]/h｝.从Lagrange定理：存在ξ∈（c+h,c）

利用函数的柯西定理可以证明f(x)在x=a及x=b处分别存在右极限f(a+)和左极限f(b-),令f(a)=f(a+),f(b)=f(b-)便有f(x)在[a,b]上连续

首先证明:对任意整数n与实数x,有f(nx)=nf(x).对n用数学归纳法.在条件中代入x=y=0可得f(0)=0,即n=0时结论成立.假设n=k时结论成立,取y=kx,由条件得:f((k+1)x)=

F(X)极限存在,定义【x】》M,[f(x)-a]M,X

求出F’（x）,只要F’（x）>0,则得到F（x）在（a,b】上是单调增加的求得F’（x）=[f’（x）*（x-a）-f（x）+f（a）]/（x-a）^2,则F’（x）的符号由分子决定令分子是G（x）

令g(x)=f(x)e^-x;则连续且可导且g(a)=g(b)=0;故存在r使得:g'(r)=0;即[f'(r)e^-r]-f(r)e^-r=0;从而f'(r)=f(r)