若f(x)可导,x趋近于0时△y与dy的关系

ε任意正实数令δ=εx任意实数满足0|f(x)−0|=||x|−0|=|(|x|)|=|x|=ε根据极限定义f(x)在x趋近于0时极限为0当然分左右求也可以只不过看题目是不是要

方法一：f(x)是连续函数,所以当x趋近于0时的极限为f(0)=0方法二：通过定义证明比较繁琐,用一下基本不等式也能做出来任给epsilon>0,命delta=epsilon>0当|x-0|

limf(x)/x存在,分母-->0,故limf(x)=0,f(x)在x=0连续,limf(x)=f(0)=0f'(0)=lim[f(x)-f(0)]/[x-0]存在,所以f(x)在x=0连续且可导

1再答：需要解释吗？再问：谢谢，和我做的一样

当然,用极限定义,极限存在并且等于1

Limit[(f(1)-f(1-x))/(2x),x->0]令u=-x=Limit[(f(1+u)-f(1))/(2u),u->0]=(1/2)f'(1)=-1f'(1)=-2

limf(x)/x存在,分母-->0,故limf(x)=0,f(x)在x=0连续,limf(x)=f(0)=0f'(0)=lim[f(x)-f(0)]/[x-0]存在,所以f(x)在x=0连续且可导

lim(x+cosx)=1,因lim(x-sinx)=0,则lim(x+cosx)/(x-sinx)=∞.“f(x)的导数存在则x趋近于0时(f(x+2h)-f(x+h)/2h)为1/2f(x)”有误

不妨设x0处f(x0)>0.由极限的定义,那么在x>x1时一定有f(x)

x趋近于0时,limf(x)=lim(1/x)/[-x^2)=lim(-x)=0再问：(⊙o⊙)…函数打错了，应为f(x)=(lnx)/x能求麽再答：我就这样做的呀？再问：可是我的参考书上利用这个函数

∵当x趋近于零,f(x)/x趋近于1∴f'(0)=1设g(x)=f(x)-x两边求导得：g'(x)=f'(x)-1x>0时,f'(x)单调递增f'(x)>1g'(x)>0g(0)=0∴g(x)>0x

如果f(x)和g(x)两个函数中有一个的极限存在,比如g(x）的极限存在,那f(x)={f(x)-g(x)}+g(x),两边同时取极限符号,就得到f(x)的极限=g(x)的极限；如果f(x)、g(x)

lim[6+f(x)]/(x^2)=limx[6+f(x)]/(x^3)=lim(6x+xf(x))/x^3=lim(6x-sin(6x)+sin6x+xf(x))/x^3=lim(6x-sin(6x

取倒数不就一目了然了吗

因为f（0）=0所以,左式=lim[(f(x)-f(0))/(x-0)]因为若f（x）可导,故其在0点导数存在,故由导数定义知左式=lim[(f(x)-f(0))/(x-0)]=f'（0）

令h=-t,则h→0-时,t→0+于是原式=lim【t→0+】[f(x)-f(x+t)]/(-t)=lim【t→0+】[f(x+t)-f(x)]/t=f'+(x).即f(x)在x点的右导数!

lim（x->0）f'(x)/x=2>0,可由极限保号性质知,在x=0的一个δ邻域内,必有x0,f(x)单增且f'(0)=0,知f(x)在x=0处取得极小值.即f(0)是是它的极小值.

由于当x趋近于零,f(x)/x=f(0+x)/x趋近于1则可知f'(0)=1又f'(x)单调递增且f(x)满足f(0)=0则当x1=[y'=(x)']故此时f(x)>0>x得证

在极限中,讨论极限是否存在时会遇到这种问题.Δx从大于0处趋近0时,导数叫右导数.反之叫左导数.当左右导数相等时,函数在这一点的导数才存在.因此,Δx应是正负都要取,并比较二者大小,从而才能算出导数.