作业帮至少存在一点η∈(0,1),使f′(η)=(1-η-1)f(η)
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/24 02:47:13
若a>0,f(x)最大值f(e)=1/x+a
构造函数F(x)＝(1-x)×∫(0到x)f(t)dt,则F(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,F(0)＝F(1)＝0,由罗尔中值定理,在(0,1)内至少存在一点ξ,使得F'(ξ)＝0.F'
积分中值定理,存在c位于[3/41],使得4f(c)*1/4=f(0),即f(c)=f(0),由罗尔中值定理,结论成立.
F(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,F(0)=F(1)=0,根据罗尔定理,至少存在一点ζ∈（0,1）,使得F'(ζ)=0.F'(x)=f(x)+xf'(x),F'(0)=f(0)+0=0,
提示1.考查函数x^2*f(x)在[0,1]利用中值定理即可2.f(x),g(x)=x^2利用柯西中值定理
证明：设g(x)=xf(x),则g'(x)=xf'(x)+f(x),g(1)=1f(1)=0,g(0)=0*f(0)=0所以g(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导且g(0)=g(1),由罗尔中
令φ(x)=f(x+a)-f(x),则φ(x)∈C[0,a]这个很简单啊,首先连续函数的和差积商（分母不为0）还是连续函数,那么在[0,a]上,f(x+a)是连续函数,f(x)也是连续函数,那么φ(x
证明：令F（x）=e2xf（x），则F（x）在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，且F（0）=F（1）．由罗尔中值定理知，存在ξ∈（0，1），使得F′（ξ）=2e2ξf（ξ）+e2ξf′（ξ）=0，
构造函数G(x)=f(x)-(x的平方）[f(1)-f(0)]G(1)=f(1)-[f(1)-f(0)]=f(0)G(0)=f(0)-0=f(0)由柯西中值定理知存在一点ξ使得G'(ξ)=0G'(x)
令：F(x)=x^2*f(x)当x=0时,F(0)=0^2*f(0)=0当x=1时,F(1)=1^2*f(1)=0而且F(x)在[0,1]内连续,F(x)在(0,1)内可导故根据Rolle中值定理得:
设g(x)=f(x)-(1-x)则g(0)=-1,g(1)=1,且g(x)在【0,1】上连续,所以存在一点ξ属于(0,1),使g(ξ)=0,即f(ξ)-(1-ξ)=0,所以f(ξ)=1-ξ
令F(x)=f(x)f(1-x)即可,由于F(0)=F(1)=f(0)f(1)=0,满足罗尔定理的条件,因此存在g∈(0,1),使得F'(g)=0,即f'(g)f(1-g)-f(g)f'(1-g)=0
此题要求k>0.F(x)=x^kf(x),F()=F(1)=0,洛尔中值定理,存在c使得F'(c)=0,即kc^(k-1)f(c)+c^kf'(c)=0,消掉c^(k-1)即可.
作变上限积分：令F(x)=∫(0,x)f(x)dx,则F(a)=∫(0,a)f(x)dx,F(-a)=∫(0,-a)f(x)dx即-F(-a)=∫(-a,0)f(x)dxF(a)-F(-a)=∫(-a
令F（x）=f（x）-x，则F（x）在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，且F(12)=f(12)-12=12，F（1）=f（1）-1=-1，故对F（x）在[12，1]上利用零点定理可得，∃η∈(1
令F(X)=Xf(x),F(1)=1*f(1)=0,F(0)=0*f(0)=0.且F(x)在[0,1]上连续,在（0,1）内可导.满足罗尔中值定理的条件,故存在ζ使得,F′(ζ)=0,F'(X)=f(
构造辅助函数g(x)=f(x)-x^2*[f(1)-f(0)],使用Rolle定理即可.#再问：太感谢了