A,B都是s*n矩阵Ax=0与Bx=0同解
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/16 10:42:41
不对.反例:A:ab00cd00B:00001234A:2×4矩阵,a,b,c,d任取.B:4×2矩阵,R(B)=2AB=0
考虑两个线性空间:(1)B的列空间,即B的各列向量张成的线性空间.它的维数即是B的列秩,等于B的秩,即r(B).(2)Ax=0的解空间,即Ax=0的所有解组成的线性空间.由基本定理,它的维数=n-r(
(A)>=1是因为它是非零矩阵,只要是非零矩阵,秩当然至少是1至于r(B)
设B=[b1,b2,……,bs]那么AB=OA[b1,b2,……,bs]=[O,O,……,O]Abi=0,(i=1……s)即bi(i=1,2,...,s)是AX=O的解
|A|=0证明:设r为n阶矩阵A的秩,当r=n时,齐次线性方程组Ax=0仅有零解.但是n阶非零矩阵B的每一个列向量都是齐次线性方程组Ax=0的解,所以Ax=0有非零解,则r
也是对的,看一下Sylvester不等式
|A|=0因为B非零,B的列向量都是AX=0的解,所以AX=0有非零解.所以|A|=0.
(A)>=r(B)AX=0的解集的秩:n-r(A)BX=0的解集的秩:n-r(B)若AX=0的解均是BX=0的解,则可理解为后一个方程解不比第一个少,(指的是线性无关的解),所以n-r(A)
这样想,矩阵B的每一列都是AX=0的解,这就说明AX=0有很多个解,也就是说这个方程的系数矩阵A肯定是不可逆的,当然它的行列式等于0再问:怎么说的不可逆再答:方程AX=0有多个非零解,系数矩阵A肯定不
B为n阶非零矩阵,若B的每一个列向量都是齐次线性方程组Ax=0的解说明齐次线性方程组Ax=0有非零解,故其系数行列式|A|=0.(n元齐次线性方程组当方程的个数等于未知数的个数时,方程组有非零解的充要
只要借助转置和逆的穿透律以及正交矩阵的定义即可,证明如图
|A|=0B的每一个列向量都是齐次线性方程组Ax=0的解所以Ax=0有非零解,所以系数矩阵行列式为0
因为A(b1,b2...bn)=0得R(A)+R(B)0得到R(A)
①设AX=0,BX=0同解,解空间是V0=﹤X1,……Xp﹥,﹛X1,……Xp﹜是基础解系.设Vn=V0♁V1﹙♁是直和,V1是V0的正交补﹚则A的行向量组、B的行向量组都是V1的生成组,所以等价!②
把B写出分块矩阵的形式,B=(b1,b2,..bs),其中bi是B的第i个列向量,(i=1,2..s)AB=0A(b1,b2,..bs)=(Ab1,Ab2,..Abs)=0=(0,0,...0)Abi
一定相等.因为既然Ax=0与Bx=0同解,则A一定可以通过若干步操作(一共三种:某一行乘以一个倍数,两行互换,某一行加上另一行的某一倍数)变为B,而这些操作都不会改变矩阵的秩.
设B=[b1,b2,……,bs]那么AB=OA[b1,b2,……,bs]=[O,O,……,O]Abi=0,(i=1……s)即bi(i=1,2,...,s)是AX=O的解或者是设B=(B1,B2,.,B
只需证明A'A的秩等于(A'A,A'B)的秩,即r(A'A)=r(A'A,A'B)首先r(A'A)
结果是(A逆0-B逆*C*A逆B逆)方法:设结果是(X1X2X3X4)直接代入计算即可步骤的话如下先算左上角那个元素,得到A*X1+0*X3=I(单位阵),所以X1=A逆再算右上角那个元素,得到A*X
Ax=0与Bx=0同解那么A,B的行简化梯矩阵相同,即存在可逆矩阵P,Q,使得PA=QB所以Q^-1PA=B所以A与B的行向量组等价.