已知n阶矩阵a满足-搜答案-智慧作业帮

设方阵满足A^2-4A+E=0,证明A及4A+E均可逆,并求A及4A+E的逆矩阵因为A^2-4A+E=0所以A(A-4E)=-E所以A可逆,且A逆=-

A=A^24A^2-4A+E=E(E-2A)(E-2A)=E所以E-2A可逆且（E-2A）的负一次方等于E-2A

因为2A(A-E)=A^3所以A^3-2A^2+2A=0所以A^2(A-E)-A(A-E)+A-E=-E即(A^2-A+E)(E-A)=E所以E-A可逆,且(E-A)^-1=A^2-A+E.

因为A^2(A-2E)=3A-11E所以A^3-2A^2-3A+11E=0所以A^2(A+2E)-4A(A+2E)+5(A+2E)+E=0所以(A^2-4A+5E)(A+2E)=E所以A+2E可逆,且

提示:幂零阵的所有特征值都是零(这是充要条件)

证明:因为A^2=A所以A(A-I)=0若detA≠0则A可逆.则A-I=A^-1A(A-I)=A^-10=0所以有A=I.故A=I或detA=0

A^2-3A=2EA*(A-3E)/2=E所以A可逆逆矩阵为A^(-1)=(A-3E)/2

(E+3A)(E-3A)=E-9A^2=E

A^3+A^2-2A=0A^2(A+I)-2A-2I=-2I(A^2-2I)(A+I)=-2I-1/2(A^2-2I)(A+I)=I所以A+I可逆逆阵是-1/2(A^2-2I)

移项使等号右边等于0提取公因式会有AX（A-1）=0出现的当然先要两边加绝对值吧

1这个A不一定是可逆的.如果不可逆,A^(-1)不存在2跟第一个一样的错误

证明:因为A+B=AB所以(A-E)(B-E)=AB-A-B+E=E所以A-E可逆,且(A-E)^-1=B-E.由上知A-E与B-E互逆故有(B-E)(A-E)=E可得BA=A+B从而有AB=BA.

(A-E)²=2(A+E)²A²-2A+E=2A²+4A+2E整理得：A²+6A=-EA(A+6E)=-E所以A[-(A+6E)]=E故A^-1=-(

A^2=2A说明A的特征值只可能是0或者2,所以A-I的特征值就是1或-1再利用实对称阵正交相似于对角阵得到A-I是正交阵另一种做法是直接算出(A-I)(A-I)^T=I,但上面的方法也应该掌握

必须满足A有n个线性无关的特征向量---事实上这是A可对角化的充要条件或者A的k重特征值有k个线性无关的特征向量

首先知道一个定理：A正定存在可逆矩阵C,使得A=C*C的转置接下来证明你的题：因为A正定所以存在可逆矩阵C,使得A=C*C的转置设C的逆的转置=D则D可逆,且A的逆=D*D的转置（对上式两边取逆就得到

B(A-E)=(A^2+A)(A-E)=A^3-E=2E-E=E所以B可逆,逆为A-E

因为A^2-2A-3E=0所以A(A-E)-(A-E)-4E=0所以(A-E)^2=4E所以A-E可逆,且(A-E)^-1=(1/4)(A-E).

A^2-3A+E=03A-A^2=E(3E-A)A==EA^(-1)=3E-A

（结论应该是rank(A)+rank(A-I)=n,否则是错的.例：取A=I,则A^2=I=A,但rank(A)+rank(A+I)=rank(I)+rank(2I)=n+n=2n）证法一：令U={x