已知a+b＝1求证(a+1 a)²+(b+1 b)²≥25 2

2(a^2+b^2+1)-2(ab+a)=(a^2-2ab+b^2)+(a^2-2a+1)+b^2+1=(a-b)^2+(a-1)^2+b^2+1(a-b)^2>=0,(a-1)^2>=0,b^2>=

证明,有定理a+b>=2*根号下(ab),（a>=0,b>=0）可得：(a+1)>=2*根号a(b+1)>=2*根号b(a+b)>=2*根号ab.又因为a不等于b,所以(a+b)>2*根号ab所以(a

记x=a-b,y=b-c,z=c-d,则x+y+z=a-d原问题变为1/x+1/y+1/z>=9/(x+y+z)由于【(x+y+z)】【1/x+1/y+1/z】=3+x/y+y/x+y/z+z/y+x

∵2^a>0,2^b>0又2^a×2^b=2^(a+b)=2,为定值∴2^a+2^b>=2根号(2^a×2^b)=2根号2当且仅当a=b=1/2时,取等号当a>1/2时,随着a的增大,2^a+2^b也

因为a>b,ab>0,所以ab同号,所以1/ab,ab>0,则1/a

因为已知a+b=1，a＞0，b＞0，∴根据基本不等式a+b≥2ab，∴0＜ab≤14，又(a+1a)(b+1b)＝a2+1a⋅b2+1b＝a2b2−2ab+2ab＝(1−ab)2+1ab≥254（取等

（a^2+b^2+1）-（ab+a）=(a^2)/4-ab+b^2+(a^2)/4-a+1+(a^2)/2=[(a/2)-b]^2+[(a/2)-1]^2+(a^2)/2≥0而当取等号时,(a/2)-

（a+1/a)^2+(b+1/b)^2=a^2+2+1/a^2+b^2+2+1/b^2=（a+1/a)^2+(b+1/b)^2=（a+(a+b)/a)^2+(b+(a+b)/b)^2=(a+1+b/a

克西不等式：在上式中 另则有

两边同乘以a,移项可得原式等价于a^4-a^2+2a>1等价于a^4-2*a^2+1+a^2+2a+1>3等价于(a^2-1)^2+(a+1)^2>3因为a>1所以a+1>2所以(a+1)^2>4又因

(a/√b+b/√a)-√a-√b=(a/√b-√b)+(b/√a-√a)通分,得=(a-b)/√b+(b-a)/√a=(a-b)/√b-(a-b)/√a=(a-b)[1/√b-1/√a]=[(a-b

a+b≥2√abab≤1/4(a+1/a)(b+1/b)=(a^2+1)/a*(b^2+1)/b=[a^2b^2+(1-2ab)+1]/ab=[(ab-1)^2+1]/ab(ab-1)^2+1≥25/

由基本不等式(b²/a+a)+(a²/b+b)≥2√(b²/a×a)+2√(a²/b×b)=2b+2a∴b²/a+a²/b≥a+b因为a>0

a+b+c=1,给这个式子平方,(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ac),因为a^2+b^2>=2ab,b^2+c^2>=2bc,a^2+c^2>=2ac,所以a^2+b^2

（a+b+c）^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac=1由a^2+b^2≥2ab得：0.5（a^2+b^2）≥ab同理：0.5（b^2+c^2）≥bc0.5（c^2+a^2）≥ca所以1

方法1要证1/(a-b)+1/(b-c)+1/(c-a)>0只需证1/(a-b)+1/(b-c)>-1/(c-a)只需证1/(a-b)+1/(b-c)>1/(a-c)因为a>b>c,所以(a-b)>0

证明：∵a，b∈R，且a+b=1，∴b=1-a，∴(a+2)2 +(b+2)2−252=a2+b2+4（a+b）-92 =2a2-2a+12=2(a−12)2≥0，∴(a+2)2+

a^2+b^2>=2ab,(ab)^2+a^2+b^2+1>=(ab)^2+2ab+1,(1+ab)^2

(a/√b+b/√a)(√a+√b)=a+b+（a√a/√b+b√b/√a）≥a+b+2√ab=(√a+√b)^2所以,两边除以√a+√b,就得到a/√b+b/√a≥√a+√

a^3＋b^3=(a+b)^3-a^2b-ab^2,因为a、b、c＞0,所以a^3＋b^3≥0所以a^3＋b^3-（a^2b＋ab^2）≥0所以：a^3＋b^3≥a^2b＋ab^2