作业帮微积分：洛必达法则求极限,
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/25 12:13:24
微积分：洛必达法则求极限,
第一题：0/0 型极限式；
lim{[cosx-√(1+x)]/x³}=lim{[-2sinx*√(1+x)-1]/[3x²*2√(1+x)]}=lim{-1/[6x²√(1+x)]} → -∞；
第二题：0×∞ 型极限式,可转换成 ∞/∞ 型；
lim{x²*e^(1/x²)}=lim{[e^(1/x²)]/(1/x²)}={t→+∞}lim{e^t/t}=lim{e^t} → +∞；
第三题：可看作 0×∞ 型极限式；
lim{(1-x²)tan(πx/2)}=lim{[tan(πx/2)]/[1/(1-x²)]}
=lim{(π/2)(1-x²)²/[cos²(πx/2)*(2x)]}=(π/2)lim{[(1+x)²/(2x)]*[(1-x)²/(cos(πx/2))]}
=(π/2)*2*lim{(1-x)²/cos(πx/2)}=πlim{2(1-x)/[(π/2)sin(πx/2)]}=4lim{(1-x)/sin(πx/2)}=4*0=0；
第三题,[(2/π)arctanx]^x=e^[xln(2/π)arctanx],xln[(2/π)arctanx] 属 ∞×0 型极限式；
∴ lim{xln[(2/π)arctanx]}=lim{ln[(2/π)arctanx]/ (1/x)}=lim{(-x²)/[arctanx*(1+x²)]}
=lim{[-x²/(1+x²)]*arctanx}=-π/2（当 x→+∞）或 π/2（当 x→-∞）；
因此,当 x→+∞,lim{(2/π)arctanx}=e^(-π/2)=1/e^(π/2)；
当 x→-∞,lim{(2/π)arctanx}=e^(π/2)；
lim{[cosx-√(1+x)]/x³}=lim{[-2sinx*√(1+x)-1]/[3x²*2√(1+x)]}=lim{-1/[6x²√(1+x)]} → -∞；
第二题：0×∞ 型极限式,可转换成 ∞/∞ 型；
lim{x²*e^(1/x²)}=lim{[e^(1/x²)]/(1/x²)}={t→+∞}lim{e^t/t}=lim{e^t} → +∞；
第三题：可看作 0×∞ 型极限式；
lim{(1-x²)tan(πx/2)}=lim{[tan(πx/2)]/[1/(1-x²)]}
=lim{(π/2)(1-x²)²/[cos²(πx/2)*(2x)]}=(π/2)lim{[(1+x)²/(2x)]*[(1-x)²/(cos(πx/2))]}
=(π/2)*2*lim{(1-x)²/cos(πx/2)}=πlim{2(1-x)/[(π/2)sin(πx/2)]}=4lim{(1-x)/sin(πx/2)}=4*0=0；
第三题,[(2/π)arctanx]^x=e^[xln(2/π)arctanx],xln[(2/π)arctanx] 属 ∞×0 型极限式；
∴ lim{xln[(2/π)arctanx]}=lim{ln[(2/π)arctanx]/ (1/x)}=lim{(-x²)/[arctanx*(1+x²)]}
=lim{[-x²/(1+x²)]*arctanx}=-π/2（当 x→+∞）或 π/2（当 x→-∞）；
因此,当 x→+∞,lim{(2/π)arctanx}=e^(-π/2)=1/e^(π/2)；
当 x→-∞,lim{(2/π)arctanx}=e^(π/2)；