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两道微积分题(急)1·导数d/dx ∫(x^2,1) dt/(根号下1+t^4)=?有点看不懂题意,是不是先算后面 ∫(

来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/03/29 21:53:28
两道微积分题(急)
1·导数d/dx ∫(x^2,1) dt/(根号下1+t^4)=?有点看不懂题意,是不是先算后面 ∫(x^2,1) dt/(根号下1+t^4),然后再求导数?
2 设函数z=x (根号下x^2+y^2),则偏导数@z/@x=?我的思路是@z/@x=-Fx'/Fz',Fx'会算,但是Fz'不会算
求高手指点,谢谢!
1·导数d/dx ∫(x²,1) dt/√(1+t⁴)=?
原式=[1/√(1+x⁸)][d(x²)/dx]=2x/√(1+x⁸);
2 设函数z=x√(x²+y²),求∂z/∂x,∂z/∂y.
∂z/∂x=√(x²+y²)+2x²/[2√(x²+y²)]=√(x²+y²)+x²/√(x²+y²)=(2x²+y²)/√(x²+y²);
∂z/∂y=2xy/[2√(x²+y²)]=xy/√(x²+y²).
你引用的公式只适用于隐函数.即若方程F(x,y,z)=0能确定函数z=f(x,y),那么在不解出显函数
表达式y=f(x,y)的情况下,可用公式:∂z/∂x=-(∂F/∂x)/(∂F/∂z);∂z/∂y=-(∂F/∂y)/(∂F/∂z)求偏导数.
再问: 第一题没看懂,能再说详细一点吗,计算的步骤是怎么样的呢,可以用括号加以说明,谢谢
再答: 直接套公式:(d/dt)∫[a,b(t)]f(x)dx=f(b)(db/dt); [a,b(t)]中a是下限,b(t)是上限。 用在本题中,要把公式中的x和t互换,即(d/dx)∫[a,b(x)]f(t)dt=f(b)(db/dx),在这里,b=x².
再问: 第一题:f(b)又是什么,天为什么b又等于x^2,你给的公式里面a=x^2啊,那还不如直接把等式右边的b写成a。我们书上也没有这个公式。这道题不能够一步一步地理解每一步的数学定义来计算吗?你给的公式我也没法理解。第二题:我们书上没有这个公式,∂z/∂x=-(∂F/∂x)和(∂F/∂z)是什么意思,不是有个负号吗,约掉了?求∂z/∂x的意思就是对x求导,,为什么不能直接求导算出答案?
再答: (1)我用与本题一致的公式回答你的问题:(d/dx)∫[a,b(x)]f(t)dt=f(b)(db/dx), 其中a是常量,是积分下限,在本题中,a=1;b(x)=x²是上限;f(t)=1/√(1+t⁴)是被积函数; f(b)=f(x²)=1/√[1+(x²)⁴]=1/√(1+x⁸);db/dx=d(x²)/dx=2x. 这里下限a是常量,如果下限a也是变量a(x),公式更复杂。 一般的高数教材不讲这个公式。 (2).隐函数的求导公式,任何一本高数教材上都有。方程F(x,y,z)=0能确定z=f(x,y), 那么在不解 出z=f(x,y)的情况下,可直接用F(x,y,z)=0求z对x,和z对y的偏导数。 例。已知x²/24+y²/12+z²/6=1,求∂z/∂x,∂z/∂y. 在这里,若解出z=f(x,y)再求导是件很麻烦的事情。 最好的办法是: 作函数F(x,y,z)=x²/24+y²/12+z²/6-1=0 那么∂z/∂x=-(∂F/∂x)/(∂F/∂z)=-(x/12)/(z/3)=-x/(4z); ∂z/∂y=-(∂F/∂y)/(∂F/∂z)=-(y/6)/(z/3)=-y/(2z).
再问: 第二题你写的这个例题我懂了,但是提问的这道题还是没有懂,麻烦你再详细讲解一下行吗,我不知道:∂z/∂x=√(x²+y²)+2x²/[2√(x²+y²)]怎么算出来的,就是用你补充的那个公式∂z/∂x=-(∂F/∂x)/(∂F/∂z),但是(∂F/∂x)和(∂F/∂z)要怎么算,
再答: 设函数z=x√(x²+y²),求∂z/∂x,∂z/∂y 这是显函数,没必要用隐函数求导公式,如果你一定要用,那要这样用: 移项,作函数F(x,y,z)=z-x√(x²+y²)=0,就可以用上隐函数的求导公式了。这时: ∂z/∂x=-(∂F/∂x)/(∂F/∂z)=-[-√(x²+y²)-x²/√(x²+y²)]/1 [在这里,(∂F/∂z)=1] =(2x²+y²)/√(x²+y²) ∂z/∂y=-(∂F/∂y)/(∂F/∂z)=-[-xy/√(x²+y²)]/1=xy/√(x²+y²)].
再问: 我想问的是你用的显函数的方法里面∂z/∂x是怎么算的?你直接就把答案写出来了我不懂啊
再答: 函数z=x√(x²+y²),求∂z/∂x,∂z/∂y; 对x求导时,x√(x²+y²)是两个函数的积,要用(uv)'=u'v+uv',这里u=x,v=√(x²+y²); ∂z/∂x=x'√(x²+y²)+x[√(x²+y²)]' [(把y看作常量),[√(x²+y²)]'=2x/[2[√(x²+y²)]=x/√(x²+y²);] =√(x²+y²)+x²/√(x²+y²); 对y求导是把x看作常量。 ∂z/∂y=x(2y)/[2√(x²+y²)]=xy/√(x²+y²).