作业帮第26届全国高中物理竞赛决赛第一题
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：物理作业 时间：2024/04/17 02:39:54
第26届全国高中物理竞赛决赛第一题
某光滑曲面由曲线y=f（x）绕竖直轴旋转一周形成,一自然半径为a、质量为m、劲度系数为k的弹性圆环置于该曲面之上,能水平静止于任意高度,则曲线方程为
.
某光滑曲面由曲线y=f（x）绕竖直轴旋转一周形成,一自然半径为a、质量为m、劲度系数为k的弹性圆环置于该曲面之上,能水平静止于任意高度,则曲线方程为
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这道题作为一道决赛题其实还过于简单了
首先考察圆环伸缩时造成的径向分力
当圆环伸缩至半径x时,产生的张力为T=2Pik（x－a） （Pi是圆周率,那个字母我打不出来）
对于圆环上对应dα角的小绳子,两端T造成合力F=2Tsindα/2约为Tdα
假设曲线在x处切线为倾斜角为β
为使此段小绳平衡,须有dmgsinβ＝Tdαcosβ
得dmgtanβ＝Tdα
易见tanβ=-f'(x),同时代入dm＝dαm/2Pi
化得f'(x)=-4Pi^2k(x-a)/mg 检验可知式中x可为任意正值
然后直接积分,同时考虑到f(x)可以任意上下平移
f(x)=C-2Pi^2k(x-a)^2/mg ,x需大于0
再问： 但答案中没有k，我就是这里有问题，函数应该包含k才对啊
再答： 答案错误不解释。如果没有K的话，那么答案的单位就爆了
再问： 是啊
首先考察圆环伸缩时造成的径向分力
当圆环伸缩至半径x时,产生的张力为T=2Pik（x－a） （Pi是圆周率,那个字母我打不出来）
对于圆环上对应dα角的小绳子,两端T造成合力F=2Tsindα/2约为Tdα
假设曲线在x处切线为倾斜角为β
为使此段小绳平衡,须有dmgsinβ＝Tdαcosβ
得dmgtanβ＝Tdα
易见tanβ=-f'(x),同时代入dm＝dαm/2Pi
化得f'(x)=-4Pi^2k(x-a)/mg 检验可知式中x可为任意正值
然后直接积分,同时考虑到f(x)可以任意上下平移
f(x)=C-2Pi^2k(x-a)^2/mg ,x需大于0
再问： 但答案中没有k，我就是这里有问题，函数应该包含k才对啊
再答： 答案错误不解释。如果没有K的话，那么答案的单位就爆了
再问： 是啊