高分求关于一道齐次线性方程组基础解系题的耐心解答!

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/04/26 00:54:35

高分求关于一道齐次线性方程组基础解系题的耐心解答!
第一个问题,答案说“因为Ax=0含有一个线性无关的解向量,所以r(A)=3 r(A*)=1,古A*x含有三个线性无关的解向量"
这个”Ax=0含有一个线性无关的解向量"是从题目中哪看出来的?”
为什么r(A)=3 就r(A*)=1 r(A)和r(A*)有什么关系?
第二个问题然后答案说“又因为A*A=|A|E=0且r(A)=3,所以A向量的列向量组中含有A*x=0的基础解系”
A*A=|A|E我知道但是为什么A*A=|A|E=0 这是个是从哪看出来的?还有为什么就能根据这个推断向量的列向量组中含有A*x=0的基础解系?
最后一个问题 "因为（1,0,1,0）^是Ax=0的基础解系,所以a1+a3=0,故a1,a2,a4和a2,a3,a4线性无关,显然a2,a3,a4是A*x=0的基础解系”
a1+a3=0我知道,但是为什么可以推断a1,a2,a4和a2,a3,a4线性无关?为什么最后把a1,a2,a4去掉了,只留a2,a3,a4呢?
谢谢大家,高分求耐心讲解!

1.已知 (1,0,1,0)^T 是AX=0的基础解系
所以 Ax=0含有一个线性无关的解向量
因为A是4阶矩阵,r(A) = 3 = 4-1
所以 r(A*) = 1.
r(A)和r(A*)的关系参考:

2.因为 r(A)=3 所以 A*A = |A|E = 0
所以 A的列向量都是 A*X=0 的解.
又 r(A*) =1,所以 A*X=0 的基础解系含 4-r(A*) = 4-1=3 个解向量
而A的秩为3,列向量都是A*X=0的解,所以 A的列向量组中含有A*x=0的基础解系
3.因为 a1+a3=0,所以 a1,a3 可互相线性表示
又因为 r(A)=3,A有3个线性无关的列向量
所以 a1,a2,a3,a4 中只要不同时含 a1,a3 的部分组都是A的列向量组的极大无关组
所以选择中只有(D)符合,故去掉 a1,a2,a4

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