作业帮设3阶对称矩阵A的特征值入1=1 入2=-1 入3=2 如果α1=（1.1.1）是A的属于入1的一个特征向量,记B=A^
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/20 19:03:41
设3阶对称矩阵A的特征值入1=1 入2=-1 入3=2 如果α1=（1.1.1）是A的属于入1的一个特征向量,记B=A^3 -3A+I 其中I为3阶单位矩阵,
（1） 求B的全部特征值 验证α是矩阵B的特征向量.（2）求B得全部特征向量以及矩阵B
（1） 求B的全部特征值 验证α是矩阵B的特征向量.（2）求B得全部特征向量以及矩阵B
(1)因为A的特征值为1,-1,2
所以B=A^3-3A+I的特征值为(λ^3-3λ+1):-1,3,3.
由于 Aα=λ1α=α
所以 A^2α=Aα=α,A^3α=A(A^2α)=Aα=α
所以 Bα=(A^3-3A+I)α=A^3α-3Aα+α=α-3α+α=-α
所以α是B的属于特征值-1的特征向量.
(2)因为A是实对称矩阵,所以B也是实对称矩阵
所以B的属于不同特征值的特征向量正交
设B的属于特征值3的特征向量为(x1,x2,x3)^T
则 x1+x2+x3=0
解得 α2=(1,-1,0)^T,α3=(1,0,-1)^T
所以B的属于特征值3的全部特征向量为 k2α2+k3α3,k2,k3不全为0
所以B=A^3-3A+I的特征值为(λ^3-3λ+1):-1,3,3.
由于 Aα=λ1α=α
所以 A^2α=Aα=α,A^3α=A(A^2α)=Aα=α
所以 Bα=(A^3-3A+I)α=A^3α-3Aα+α=α-3α+α=-α
所以α是B的属于特征值-1的特征向量.
(2)因为A是实对称矩阵,所以B也是实对称矩阵
所以B的属于不同特征值的特征向量正交
设B的属于特征值3的特征向量为(x1,x2,x3)^T
则 x1+x2+x3=0
解得 α2=(1,-1,0)^T,α3=(1,0,-1)^T
所以B的属于特征值3的全部特征向量为 k2α2+k3α3,k2,k3不全为0
设3阶对称矩阵A的特征值入1=1 入2=-1 入3=2 如果α1=（1.1.1）是A的属于入1的一个特征向量,记B=A^
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