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(2013•顺义区二模)已知:如图,⊙O是Rt△ABC的外接圆,∠ABC=90°,点P是⊙O外一点,PA切⊙O于点A,且

来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:综合作业 时间:2024/03/28 17:09:36
(2013•顺义区二模)已知:如图,⊙O是Rt△ABC的外接圆,∠ABC=90°,点P是⊙O外一点,PA切⊙O于点A,且PA=PB.
(1)求证:PB是⊙O的切线; 
(2)已知PA=2
3
(1)证明:连接OB,
∵OC=OB,AB=BP,
∴∠OCB=∠OBC,∠PAB=∠PBA,
∵AP为圆O的切线,
∴∠PAB=∠C,
∴∠PBA=∠OBC,
∵∠ABC=90°,
∴∠OBC+∠OBA=90°,
∴∠PBA+∠OBA=90°,即∠PBO=90°,
则BP为圆O的切线;

(2)设圆的半径为r,则AC=2r,
在Rt△ABC中,AC=2r,BC=2,
根据勾股定理得:AB=
AC2−BC2=2
r2−1,
∵∠PAB=∠C,∠PBA=∠OBC,
∴△PAB∽△OCB,

PA
OC=
AB
BC,即
2
3
r=
2
r2−1
2,
解得:r=2.
则圆的半径为2.