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1:已知a、b、c∈R+ 求证:(a²+a+1)(b²+b+1)(c²+c+1)≥27ab

来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/03/29 15:26:09
1:已知a、b、c∈R+ 求证:(a²+a+1)(b²+b+1)(c²+c+1)≥27abc
2:已知a、b>0 且a+b=1 求证(a+1/a)²+(b+1/b)²≥25/2
3:设a、b、c∈R+ ,且a+b+c=1
(1) 求证:
(1-a)(1-b)(1-c)≥8abc
(2) 求证:
a²+b²+c²≥1/3
(3) 求证:
√4a+1 +√4b+1 +√4c+1
这题解出(1)、(2)就行了,(3)解出来追加30分.3Q
已知a>b>0 c>d>0 求证√ac -√bd ≥√(a-b)(c-d) (全在根号下)
1、(a-1)*(a-1)>=0
a^2-2*a+1>=0 两边同时加上3a
a^2+a+1>=3a
同理 b^+b+1>=3b,c^2+c+1>=3c
所以 (a^2+a+1)(b^2+b+1)(c^2+c+1)>=3a*3b*3c=27abc
2、(a+1/a)²+(b+1/b)²
=a²+2+1/a²+b²+2+1/b²
=(a²+b²)+(1/a²+1/b²)+4
a²+b²>=2ab
所以2(a²+b²)>=a²+2ab+b²
a²+b²>=(a+b)²/2
同理,1/a²+1/b²>=(1/a+1/b)²/2=(a+b)²/2a²b²
a+b=1
所以左边>=1/2+1/2a²b²+4
1=a+b>=2√ab
√ab0,b>0,c>0
∴a+b>2*√a*b
b+c>2*√b*c
a+c>*√a*c
而,1-a = b+c
1-b = a+c
1-c = a+b
∴(1-a)(1-b)(1-c)
= (b+c)(a+c)(a+b)
>=(2*√b*c)*(2*√a*c)*(2*√a*b)
= 8abc
(2)
∵(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc =1
∴ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc =1 (1)
a^2+b^2>=2ab、(2)
a^2+c^2>=2ac、(3)
b^2+c^2>=2bc (4)
(1)+(2)+(3)+(4)得
3a^2+3b^2+3c^2+2ab+2ac+2bc ≥1+2ab+2ac+2bc
3a^2+3b^2+3c^2 ≥1
所以a^2+b^2+c^2≥1/3