作业帮概率论中互斥事件一定独立吗?
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/20 20:21:54
概率论中互斥事件一定独立吗?
我认为：如果AB=空集,那么就是说若A发生则B一定不发生,也就是说A是否发生影响B是否发生,那么A和B一定不独立.
但是辅导书上说“独立与互斥事件之间没有必然的互推关系”,请问该如何解释?
我认为：如果AB=空集,那么就是说若A发生则B一定不发生,也就是说A是否发生影响B是否发生,那么A和B一定不独立.
但是辅导书上说“独立与互斥事件之间没有必然的互推关系”,请问该如何解释?
同意【轻剪无绪】所说.如果他说的已经帮你解决问题了,你就忽略我的回答吧.我只是补充一下：
对于任意的两个事件A、B,它们的组合事件不外乎以下4种：
①、AB——A、B都发生；
②、AB′——A发生,B不发生；
③、A′B——A不发生,B发生；
④、A′B′——A、B都不发生；
此外,我们还经常会讨论下面这种组合事件：
⑤、A＋B——A、B至少有一个发生；
显然：
⑤＝①＋②＋③；
下面,我们通过分析独立事件和互斥事件的上述概率,来看看它们之间的区别：
设：A、B独自发生的概率分别为：
P（A）＝a；
P（B）＝b；
那么,显然有：
P（A′）＝1－a；
P（B′）＝1－b；
而各组合事件的概率就是：
组合情况 A、B独立 A、B互斥
① a×b 0
② a×（1－b） a
③ （1－a）×b b
④ （1－a）×（1－b） 1－a－b
⑤ a＋b－（a×b） a＋b
以上结果是根据以下定理推出来的：
对任意事件A、B：
（1）P（AB）＋P（AB′）＋P（A′B）＋P（A′B′）＝1；
（2）P（A＋B）＝P（AB）＋P（AB′）＋P（A′B）；
（3）P（A＋B）＝P（A）＋P（B）－P（AB）；
若A、B独立,则：
（1）P（AB）＝P（A）×P（B）；
（2）A与B′、A′与B、A′与B′,也分别相互独立；
若A、B互斥,则：
（1）各组合事件的概率,完全可以借助集合图形来理解和求解.
例如：
P（AB）＝P（A∩B）＝P（∅）＝0；
P（AB′）＝P（A－B）＝P（A－A∩B）＝P（A－∅）＝P（A）；
最后,再补充一点：
从①～⑤各组合事件的概率表中我们可以看出,独立事件和互斥事件确实如【轻剪无绪】所说,是完全不同的两类事件.只不过,在a、b分别为0和1时,两类事件的上述各种概率就变得相同了.但话又说回来,我们一般是不考虑不可能事件和必然事件的概率问题的.
对于任意的两个事件A、B,它们的组合事件不外乎以下4种：
①、AB——A、B都发生；
②、AB′——A发生,B不发生；
③、A′B——A不发生,B发生；
④、A′B′——A、B都不发生；
此外,我们还经常会讨论下面这种组合事件：
⑤、A＋B——A、B至少有一个发生；
显然：
⑤＝①＋②＋③；
下面,我们通过分析独立事件和互斥事件的上述概率,来看看它们之间的区别：
设：A、B独自发生的概率分别为：
P（A）＝a；
P（B）＝b；
那么,显然有：
P（A′）＝1－a；
P（B′）＝1－b；
而各组合事件的概率就是：
组合情况 A、B独立 A、B互斥
① a×b 0
② a×（1－b） a
③ （1－a）×b b
④ （1－a）×（1－b） 1－a－b
⑤ a＋b－（a×b） a＋b
以上结果是根据以下定理推出来的：
对任意事件A、B：
（1）P（AB）＋P（AB′）＋P（A′B）＋P（A′B′）＝1；
（2）P（A＋B）＝P（AB）＋P（AB′）＋P（A′B）；
（3）P（A＋B）＝P（A）＋P（B）－P（AB）；
若A、B独立,则：
（1）P（AB）＝P（A）×P（B）；
（2）A与B′、A′与B、A′与B′,也分别相互独立；
若A、B互斥,则：
（1）各组合事件的概率,完全可以借助集合图形来理解和求解.
例如：
P（AB）＝P（A∩B）＝P（∅）＝0；
P（AB′）＝P（A－B）＝P（A－A∩B）＝P（A－∅）＝P（A）；
最后,再补充一点：
从①～⑤各组合事件的概率表中我们可以看出,独立事件和互斥事件确实如【轻剪无绪】所说,是完全不同的两类事件.只不过,在a、b分别为0和1时,两类事件的上述各种概率就变得相同了.但话又说回来,我们一般是不考虑不可能事件和必然事件的概率问题的.