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概率论中互斥事件一定独立吗?

来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2022/07/07 18:11:16
概率论中互斥事件一定独立吗?
我认为:如果AB=空集,那么就是说若A发生则B一定不发生,也就是说A是否发生影响B是否发生,那么A和B一定不独立.
但是辅导书上说“独立与互斥事件之间没有必然的互推关系”,请问该如何解释?
同意【轻剪无绪】所说.如果他说的已经帮你解决问题了,你就忽略我的回答吧.我只是补充一下:
  对于任意的两个事件A、B,它们的组合事件不外乎以下4种:
  ①、AB——A、B都发生;
  ②、AB′——A发生,B不发生;
  ③、A′B——A不发生,B发生;
  ④、A′B′——A、B都不发生;
此外,我们还经常会讨论下面这种组合事件:
  ⑤、A+B——A、B至少有一个发生;
显然:
  ⑤=①+②+③;
下面,我们通过分析独立事件和互斥事件的上述概率,来看看它们之间的区别:
  设:A、B独自发生的概率分别为:
    P(A)=a;
    P(B)=b;
  那么,显然有:
    P(A′)=1-a;
    P(B′)=1-b;
而各组合事件的概率就是:
  组合情况   A、B独立     A、B互斥
   ①      a×b         0
   ②    a×(1-b)       a
   ③    (1-a)×b       b
   ④  (1-a)×(1-b)   1-a-b
   ⑤   a+b-(a×b)     a+b
以上结果是根据以下定理推出来的:
  对任意事件A、B:
(1)P(AB)+P(AB′)+P(A′B)+P(A′B′)=1;
(2)P(A+B)=P(AB)+P(AB′)+P(A′B);
(3)P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB);
  若A、B独立,则:
(1)P(AB)=P(A)×P(B);
(2)A与B′、A′与B、A′与B′,也分别相互独立;
  若A、B互斥,则:
(1)各组合事件的概率,完全可以借助集合图形来理解和求解.
例如:
  P(AB)=P(A∩B)=P(∅)=0;
  P(AB′)=P(A-B)=P(A-A∩B)=P(A-∅)=P(A);
最后,再补充一点:
  从①~⑤各组合事件的概率表中我们可以看出,独立事件和互斥事件确实如【轻剪无绪】所说,是完全不同的两类事件.只不过,在a、b分别为0和1时,两类事件的上述各种概率就变得相同了.但话又说回来,我们一般是不考虑不可能事件和必然事件的概率问题的.