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y=f(x)是定义在R上的偶函数,且对任意的实数,都有f(x+1)=f(x-1)成立.当x∈[1.2]时,f(x)=lo

来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/03/29 20:32:51
y=f(x)是定义在R上的偶函数,且对任意的实数,都有f(x+1)=f(x-1)成立.当x∈[1.2]时,f(x)=log a x
1.x∈[2k-1,2k+1]k∈z,f(x)的表达式
2.若函数y=f(x)的最大值为1/2,在区间[-1,3]上解关于x的不等式f(x)>1/4
/>(1)
当x∈[2k-1,2k]时,f(x)=f(x-2k)=loga(2+x-2k)
同理,当x∈(2k,2k+1]时,f(x)=f(x-2k)=loga(2-x+2k)
∴f(x)=[分段函数]
{loga(2+x-2k),x∈[2k-1,2k]
{loga(2-x+2k),x∈(2k,2k+1]
(2)
由于函数是以2为周期的周期函数,故只需要考查区间[-1,1]
当a>1时,由函数f(x)的最大值为1/2,知f(0)=f(x)max=loga 2=1/2,即a=4
当0<a<1时,则当x=±1时,函数f(x)取最大值为1/2,即loga(2-1)=1/2,舍去
综上所述:a=4
当x∈[-1,1]时,
若x∈[-1,0],则log4(2+x)>1/4
∴√2-2<x≤0
若x∈(0,1]时,则log4(2-x)>1/4
∴0<x<2-√2
∴此时满足不等式的解集为(√2-2,2-√2)
∵函数是以2为周期的周期函数
∴在区间[-1,3]上,f(x)>1/4的解集为(√2,4-√2)
综上,所得不等式的解集为:(√2-2,2-√2)∪(√2,4-√2)
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