作业帮一道微分方程题目
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/13 11:58:07
一道微分方程题目
这是一阶齐次微分方程
(x^2+y^2)dx-xydy=0
dy/dx=(x²+y²)/(xy)
dy/dx=((x/y)²+1)/(x/y)
令u=y/x
则dy=du*x+dx*u
dy/dx=(du/dx)*x+u
代入得
(du/dx)*x+u=(u²+1)/u=u+1/u
du/dx=1/(xu)
u*du=dx/x
两边积分得
(1/2)u²=lnx+C
将u=y/x回代
(1/2)(y/x)²=(lnx)+C
y²=2x²((lnx)+C)
这是该微分方程的通解~
再问： 哦，感谢啊，这一类方程都不能用分离变量的办法么？
再答： 一般这类问题，可以直接提取dy/dx的先求出其表达式，在根据具体情况采用不同方式
再问： dy/dx=(x²+y²)/(xy) dy/dx=((x/y)²+1)/(x/y) 这一步怎么来的？
再答： (x²+y²)/(xy) 分子分母同时除以y^2
(x^2+y^2)dx-xydy=0
dy/dx=(x²+y²)/(xy)
dy/dx=((x/y)²+1)/(x/y)
令u=y/x
则dy=du*x+dx*u
dy/dx=(du/dx)*x+u
代入得
(du/dx)*x+u=(u²+1)/u=u+1/u
du/dx=1/(xu)
u*du=dx/x
两边积分得
(1/2)u²=lnx+C
将u=y/x回代
(1/2)(y/x)²=(lnx)+C
y²=2x²((lnx)+C)
这是该微分方程的通解~
再问： 哦，感谢啊，这一类方程都不能用分离变量的办法么？
再答： 一般这类问题，可以直接提取dy/dx的先求出其表达式，在根据具体情况采用不同方式
再问： dy/dx=(x²+y²)/(xy) dy/dx=((x/y)²+1)/(x/y) 这一步怎么来的？
再答： (x²+y²)/(xy) 分子分母同时除以y^2