切割求和法证明定积分的准确性//平面切割n等份的2/n是啥意思?
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/10 05:21:16
切割求和法证明定积分的准确性//平面切割n等份的2/n是啥意思?
用定积分方法:∫(1→3) x² dx = x³/3:[1→3] = 9 - 1/3 = 26/3 ≈ 8.67
普通方法需要用切割求和法:
将平面切割n等份:
1,1 + (1)(2)/n,1 + 2(2)/n,1 + 3(2)/n,...,1 + (k)(2)/n,...,1 + n(2)/n = 3
其中第k个区间是[1 + (k - 1)(2)/n,1 + (k)(2)/n],取右端点1 + k(2)/n
底长为Δx = x_(k) - x_(k-1) = 2/n
于是它们的和:Σ_(k=1→n) [1 + k(2)/n]²(2/n),长乘以宽
= Σ_(k=1→n) (1 + 4k/n + 4k²/n²)(2/n)
= Σ_(k=1→n) (2/n + 8k/n² + 8k²/n³)
= (2/n)(n) + (8/n²) * n(n + 1)/2 + (8/n³) * n(n + 1)(2n + 1)/6
= 2 + 4(1 + 1/n) + (4/3)(2 + 1/n)(1 + 1/n)
取极限,当n→∞时有
2 + 4(1 + 0) + (4/3)(2 + 0)(1 + 0)
= 26/3 ≈ 8.67
用定积分方法:∫(1→3) x² dx = x³/3:[1→3] = 9 - 1/3 = 26/3 ≈ 8.67
普通方法需要用切割求和法:
将平面切割n等份:
1,1 + (1)(2)/n,1 + 2(2)/n,1 + 3(2)/n,...,1 + (k)(2)/n,...,1 + n(2)/n = 3
其中第k个区间是[1 + (k - 1)(2)/n,1 + (k)(2)/n],取右端点1 + k(2)/n
底长为Δx = x_(k) - x_(k-1) = 2/n
于是它们的和:Σ_(k=1→n) [1 + k(2)/n]²(2/n),长乘以宽
= Σ_(k=1→n) (1 + 4k/n + 4k²/n²)(2/n)
= Σ_(k=1→n) (2/n + 8k/n² + 8k²/n³)
= (2/n)(n) + (8/n²) * n(n + 1)/2 + (8/n³) * n(n + 1)(2n + 1)/6
= 2 + 4(1 + 1/n) + (4/3)(2 + 1/n)(1 + 1/n)
取极限,当n→∞时有
2 + 4(1 + 0) + (4/3)(2 + 0)(1 + 0)
= 26/3 ≈ 8.67
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一题n项求和化为定积分的问题. n项和怎么变为定积分ln(1+x)dx的?求过程方法,谢谢.
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