求证1+2+2^2+3^3+..+2^(5n-1)能被31整除

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/13 09:54:20

求证1+2+2^2+3^3+..+2^(5n-1)能被31整除
用二项式定理

首先按照等比数列求和公式计算
1+2+2^2+2^3+..+2^(5n-1)
把 5n 看成一个整体,比如设 m = 5n
则以上一共有 m 项
按照等比数列公式
Sm = 1 * (2^m -1)/(2-1) = 2^m -1
= 2^5n - 1
= (2^5)^n - 1
= 32^n -1
= (31 + 1)^n -1
对于 (31 + 1 )^n ,利用二项式定理
上式 =
31^n + C(n,1)* 31^(n-1) + C(n,2)*31^(n-2) + …… + C(n,n-1)*31 + C(n,n) - 1
其中 C(n,n) = 1,所以继续
= 31^n + C(n,1)* 31^(n-1) + C(n,2)*31^(n-2) + …… + C(n,n-1)*31
每项中都含有31,所以 ……

求证：对于任意自然数n,(n+5)-(n+2)(n+3)一定能被6整除求证 2^(6n-3)+3^(2n-1)能被11整除求证:对任何正整数n,3^(4n+2)+5^(2n+1)能被14整除求证对任意自然数n,3 ^4n+2 +5 ^2n+1能被14整除求证：5的2次方*3的2n+1次方*2的n次方-3的n次方*6的n+2次方能被13整除求证5的二次方*3的2n+1次方*2的n次方-3的n次方*6的n+2次方能被13整除 n为正奇数,求证(n+11)^2-(n-1)^2一定能被24整除二次项式定理问题!求证2^(6n-3)+3^(2n-1)能被11整除用数学归纳法求证,当1-（x+3)^n时,(n是正整数）能被X+2整除求证:3^n+1(n为正整数)能被2或2^2整除,但不能被2的更高次幂整除求证；对于任意正整数N,(2N+1)^2-1一定能被8整除设n为整数,求证(2n+1)的2次方-25能被4整除.