作业帮有关圆锥曲线等图形的有关知识点的归纳?
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/06/08 22:30:09
有关圆锥曲线等图形的有关知识点的归纳?
麻烦附上图形!只要具体的知识点······忠心感谢!
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圆锥曲线年级：高二 科目：数学 时间：12/12/200921:11:36 新 6046469圆锥曲线中重要的知识点总结一下,还有一些经典例题.Gif 老师提供以下资料供你参考,希望对你有所帮助：一、圆锥曲线的定义
1.椭圆：到两个定点的距离之和等于定长（定长大于两个定点间的距离）的动点的轨迹叫做椭圆.即：{P||PF1|+|PF2|=2a,(2a>|F1F2|)}.
2.双曲线：到两个定点的距离的差的绝对值为定值（定值小于两个定点的距离）的动点轨迹叫做双曲线.即{P|||PF1|-|PF2||=2a,(2a0）或+=1（a>b>0）（其中,a2=b2+c2）
2.双曲线：-=1（a>0,b>0）或-=1（a>0,b>0）（其中,c2=a2+b2）
3.抛物线：y2=±2px（p>0）,x2=±2py（p>0）
三、圆锥曲线的性质
1.椭圆：+=1（a>b>0）
（1）范围：|x|≤a,|y|≤b
（2）顶点：(±a,0),(0,±b)
（3）焦点：(±c,0)
（4）离心率：e=∈(0,1)
（5）准线：x=±
2.双曲线：-=1（a>0,b>0）
（1）范围：|x|≥a,y∈R
（2）顶点：(±a,0)
（3）焦点：(±c,0)
（4）离心率：e=∈(1,+∞)
（5）准线：x=±
（6）渐近线：y=±x
3.抛物线：y2=2px(p>0)
（1）范围：x≥0,y∈R
（2）顶点：（0,0）
（3）焦点：（,0）
（4）离心率：e=1
（5）准线：x=-
四、例题选讲：
例1.椭圆短轴长为2,长轴是短轴的2倍,则椭圆中心到准线的距离是__________.
由题：2b=2,b=1,a=2,c==,则椭圆中心到准线的距离：==.
注意：椭圆本身的性质（如焦距,中心到准线的距离,焦点到准线的距离等等）不受椭圆的位置的影响.
例2.椭圆+=1的离心率e=,则m=___________.
（1）椭圆的焦点在x轴上,a2=m,b2=4,c2=m-4,e2===m=8.
（2）椭圆的焦点在y轴上,a2=4,b2=m,c2=4-m,e2===m=2.
注意：椭圆方程的标准形式有两个,在没有确定的情况下,两种情况都要考虑,切不可凭主观丢掉一解.
例3.如图：椭圆+=1（a>b>0）,F1为左焦点,A、B是两个顶点,P为椭圆上一点,PF1⊥x轴,且PO//AB,求椭圆的离心率e.
设椭圆的右焦点为F2,由第一定义：|PF1|+|PF2|=2a,
∵PF1⊥x轴,∴ |PF1|2+|F1F2|2=|PF2|2,
即(|PF2|+|PF1|)(|PF2|-|PF1|)=4c2,
∴ |PF1|=.
∵PO//AB,∴ ΔPF1O∽ΔBOA,
∴ = c=ba=c,∴ e==.
又解,∵PF1⊥x轴,∴ 设P(-c,y).
由第二定义：=e|PF1|=e(x0+)=(-c+)=,
由上解中ΔPF1O∽ΔBOA,得到b=ce=.
例4.已知F1,F2为椭圆+=1的焦点,P为椭圆上一点,且∠F1PF2=,求ΔF1PF2的面积.
分析：要求三角形的面积,可以直接利用三角形的面积公式,注意到椭圆中一些量之间的关系,我们选用面积公式S=absinC.
解法一：SΔ=|PF1|·|PF2|·sin
|PF1|+|PF2|=2a=20,
4×36=4c2=|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos,
即(|PF1|+|PF2|)2-3|PF1||PF2|=4×36,
|PF1|·|PF2|=
∴ SΔ=××=.
解法二：SΔ=|F1F2|·|yP|=×12×yP=6|yP|,
由第二定义：=e|PF1|=a+exP=10+xP,
由第一定义：|PF2|=2a-|PF1|=10-xP,
4c2=|F1F2|2=(10+xP)2+(10-xP)2-2(10+xP)(10-xP)cos,
144=100+=,=64(1-)=64×,
SΔ=6|yP|=6×=.
注意：两个定义联合运用解决问题.从三角形面积公式均可得到结果.初学时最好两种办法都试试.
例5.椭圆+=1 的焦点为F1和F2,点P在椭圆上,若线段PF1的中点在y轴上,求：|PF1|,|PF2|.
分析：先要根据题意画出图形,然后根据已知量,将关于|PF1|,|PF2|的表达式写出来,
如图,∵O为F1F2中点,PF1中点在y轴上,∴PF2//y轴,∴PF2⊥x轴,
由第一定义：|PF1|+|PF2|=2a=4,
|PF1|2-|PF2|2=|F1F2|2,
(|PF1|-|PF2|)(|PF1|+|PF2|)=4×9=36,
.
例6.椭圆：+=1内一点A（2,2）,F1,F2为焦点,P为椭圆上一点,求|PA|+|PF1|的最值.
|PA|+|PF1|=|PA|+2a-|PF2|=10+|PA|-|PF2|≤|AF2|+10=2+10,
|PA|+|PF1|=|PA|+10-|PF2|=10-(|PF2|-|PA|)≥10-|AF2|=10-2.
注意：利用几何图形的性质：三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边.
例7.已知：P为双曲线-=1（a>0,b>0）上一点,F1,F2为焦点,A1,A2为其顶点.求证：以PF1为直径的圆与以A1,A2为直径的圆相切.
证明：不妨设P在双曲线的右支上,设PF1中点为O＇,A1A2中点为O,
|OO＇|=|PF2|,圆O半径为|A1A2|,圆O＇半径为|PF1|
由双曲线定义：|PF1|-|PF2|=|A1A2|
|PF1|-|A1A2|=|PF2|=|OO'|
∴ 两个圆相内切.
注意：可以自己证出P在左支时,两圆相外切.
例8.已知：过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的直线与抛物线交于P,Q两点.求证：以线段PQ为直径的圆与准线相切.
证明：由定义知,如图：|PP＇|=|PF|,|QQ＇|=|QF|
|PQ|=|PP＇|+|QQ＇|,|PQ|=(|PP＇|+|QQ＇|),
故圆心到准线的距离等于圆的半径,即圆和准线相切.
1.椭圆：到两个定点的距离之和等于定长（定长大于两个定点间的距离）的动点的轨迹叫做椭圆.即：{P||PF1|+|PF2|=2a,(2a>|F1F2|)}.
2.双曲线：到两个定点的距离的差的绝对值为定值（定值小于两个定点的距离）的动点轨迹叫做双曲线.即{P|||PF1|-|PF2||=2a,(2a0）或+=1（a>b>0）（其中,a2=b2+c2）
2.双曲线：-=1（a>0,b>0）或-=1（a>0,b>0）（其中,c2=a2+b2）
3.抛物线：y2=±2px（p>0）,x2=±2py（p>0）
三、圆锥曲线的性质
1.椭圆：+=1（a>b>0）
（1）范围：|x|≤a,|y|≤b
（2）顶点：(±a,0),(0,±b)
（3）焦点：(±c,0)
（4）离心率：e=∈(0,1)
（5）准线：x=±
2.双曲线：-=1（a>0,b>0）
（1）范围：|x|≥a,y∈R
（2）顶点：(±a,0)
（3）焦点：(±c,0)
（4）离心率：e=∈(1,+∞)
（5）准线：x=±
（6）渐近线：y=±x
3.抛物线：y2=2px(p>0)
（1）范围：x≥0,y∈R
（2）顶点：（0,0）
（3）焦点：（,0）
（4）离心率：e=1
（5）准线：x=-
四、例题选讲：
例1.椭圆短轴长为2,长轴是短轴的2倍,则椭圆中心到准线的距离是__________.
由题：2b=2,b=1,a=2,c==,则椭圆中心到准线的距离：==.
注意：椭圆本身的性质（如焦距,中心到准线的距离,焦点到准线的距离等等）不受椭圆的位置的影响.
例2.椭圆+=1的离心率e=,则m=___________.
（1）椭圆的焦点在x轴上,a2=m,b2=4,c2=m-4,e2===m=8.
（2）椭圆的焦点在y轴上,a2=4,b2=m,c2=4-m,e2===m=2.
注意：椭圆方程的标准形式有两个,在没有确定的情况下,两种情况都要考虑,切不可凭主观丢掉一解.
例3.如图：椭圆+=1（a>b>0）,F1为左焦点,A、B是两个顶点,P为椭圆上一点,PF1⊥x轴,且PO//AB,求椭圆的离心率e.
设椭圆的右焦点为F2,由第一定义：|PF1|+|PF2|=2a,
∵PF1⊥x轴,∴ |PF1|2+|F1F2|2=|PF2|2,
即(|PF2|+|PF1|)(|PF2|-|PF1|)=4c2,
∴ |PF1|=.
∵PO//AB,∴ ΔPF1O∽ΔBOA,
∴ = c=ba=c,∴ e==.
又解,∵PF1⊥x轴,∴ 设P(-c,y).
由第二定义：=e|PF1|=e(x0+)=(-c+)=,
由上解中ΔPF1O∽ΔBOA,得到b=ce=.
例4.已知F1,F2为椭圆+=1的焦点,P为椭圆上一点,且∠F1PF2=,求ΔF1PF2的面积.
分析：要求三角形的面积,可以直接利用三角形的面积公式,注意到椭圆中一些量之间的关系,我们选用面积公式S=absinC.
解法一：SΔ=|PF1|·|PF2|·sin
|PF1|+|PF2|=2a=20,
4×36=4c2=|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos,
即(|PF1|+|PF2|)2-3|PF1||PF2|=4×36,
|PF1|·|PF2|=
∴ SΔ=××=.
解法二：SΔ=|F1F2|·|yP|=×12×yP=6|yP|,
由第二定义：=e|PF1|=a+exP=10+xP,
由第一定义：|PF2|=2a-|PF1|=10-xP,
4c2=|F1F2|2=(10+xP)2+(10-xP)2-2(10+xP)(10-xP)cos,
144=100+=,=64(1-)=64×,
SΔ=6|yP|=6×=.
注意：两个定义联合运用解决问题.从三角形面积公式均可得到结果.初学时最好两种办法都试试.
例5.椭圆+=1 的焦点为F1和F2,点P在椭圆上,若线段PF1的中点在y轴上,求：|PF1|,|PF2|.
分析：先要根据题意画出图形,然后根据已知量,将关于|PF1|,|PF2|的表达式写出来,
如图,∵O为F1F2中点,PF1中点在y轴上,∴PF2//y轴,∴PF2⊥x轴,
由第一定义：|PF1|+|PF2|=2a=4,
|PF1|2-|PF2|2=|F1F2|2,
(|PF1|-|PF2|)(|PF1|+|PF2|)=4×9=36,
.
例6.椭圆：+=1内一点A（2,2）,F1,F2为焦点,P为椭圆上一点,求|PA|+|PF1|的最值.
|PA|+|PF1|=|PA|+2a-|PF2|=10+|PA|-|PF2|≤|AF2|+10=2+10,
|PA|+|PF1|=|PA|+10-|PF2|=10-(|PF2|-|PA|)≥10-|AF2|=10-2.
注意：利用几何图形的性质：三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边.
例7.已知：P为双曲线-=1（a>0,b>0）上一点,F1,F2为焦点,A1,A2为其顶点.求证：以PF1为直径的圆与以A1,A2为直径的圆相切.
证明：不妨设P在双曲线的右支上,设PF1中点为O＇,A1A2中点为O,
|OO＇|=|PF2|,圆O半径为|A1A2|,圆O＇半径为|PF1|
由双曲线定义：|PF1|-|PF2|=|A1A2|
|PF1|-|A1A2|=|PF2|=|OO'|
∴ 两个圆相内切.
注意：可以自己证出P在左支时,两圆相外切.
例8.已知：过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的直线与抛物线交于P,Q两点.求证：以线段PQ为直径的圆与准线相切.
证明：由定义知,如图：|PP＇|=|PF|,|QQ＇|=|QF|
|PQ|=|PP＇|+|QQ＇|,|PQ|=(|PP＇|+|QQ＇|),
故圆心到准线的距离等于圆的半径,即圆和准线相切.