作业帮设函数f（x）=|2x+1|-|x-4|
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/27 14:16:37
设函数f（x）=|2x+1|-|x-4|
（1）解不等式f（x）＞2；
（2）若关于x的不等式a＞f（x）有解，求实数a的取值范围．
（1）解不等式f（x）＞2；
（2）若关于x的不等式a＞f（x）有解，求实数a的取值范围．
（1）令y=|2x+1|-|x-4|，
则y＝
−x−5，x≤−
1
2
3x−3，−
1
2＜x＜4
x+5，x≥4，
作出函数y=|2x+1|-|x-4|的图象，它与直线y=2的交点为（-7，2）和 (
5
3，2)，
所以|2x+1|-|x-4|＞2的解集为（-∞，-7）∪（
5
3，+∞）．
（2）由图可知f（x）min为直线y=3x-3与y=-x-5交点的纵坐标，由
y＝3x−3
y＝−x−5解得y=-
9
2，
∴f（x）min=-
9
2．
∴要使a＞f（x）有解，则a＞-
9
2．
∴所求的实数a的取值范围为（-
9
2，+∞）．
则y＝
−x−5，x≤−
1
2
3x−3，−
1
2＜x＜4
x+5，x≥4，
作出函数y=|2x+1|-|x-4|的图象，它与直线y=2的交点为（-7，2）和 (
5
3，2)，
所以|2x+1|-|x-4|＞2的解集为（-∞，-7）∪（
5
3，+∞）．
（2）由图可知f（x）min为直线y=3x-3与y=-x-5交点的纵坐标，由
y＝3x−3
y＝−x−5解得y=-
9
2，
∴f（x）min=-
9
2．
∴要使a＞f（x）有解，则a＞-
9
2．
∴所求的实数a的取值范围为（-
9
2，+∞）．