2013•蓟县一模-数列简答题

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/09 10:14:56

已知数列{a_n}中，a₁=1，a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=n+12an+1(n∈N*)
（1）求数列{a_n}的通项a_n；
（2）求数列{n²a_n}的前n项和T_n；
（3）若存在n∈N^*，使得a_n≥（n+1）λ成立，求实数λ的取值范围．

解题思路：（1）因为a1+2a2+3a3+…+nan=n+1 2 an+1(n∈N*)，所以a1+2a2+3a3+…+（n-1）an-1=n 2 an（n≥2．所以(n+1)an+1 nan =3（n≥2）．由此能够求出an．（2）由（1）可知当n≥2n2an=2n•3n-2．当n≥2时，Tn=1+4•30+6•31+…+2n•3n-2，由错位相减法得到Tn＝1 2 +(n−1 2 )•3n−1（n≥2），又因为T1=a1=1也满足上式，所以Tn=1 2 ＝(n−1 2 )3n−1(n∈N*)．（3）an≥（n+1）λ等价于λ≤an n+1 ，当n≥2时，an n+1 ＝2•3n−2 n(n+1) ，设f（n）=n(n+1) 2•3n−2 (n≥2，n∈N*)，则f（n+1）-f（n）=n(n+1)(1−n) 2•3n−1 ＜0，由此能求出实数λ的取值范围．
解题过程：
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最终答案：略

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