作业帮Lebesgue积分题
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/24 12:34:45
Lebesgue积分题
若f是[a,b]上Lebesgue可积函数,证明：
当n→∞时,∫（a→b）f(x)|sinnx|dx=2/π*∫（a→b）f(x)dx
有能做出来的或者能提供思路的都行啊……好的必有重赏!
鉴于一楼的答案，提醒回答者注意两点：
①这是Lebesgue可积，并没有f(x)连续的条件，所以积分中值定理慎用
②积分上下限是a→b，不是0→π/2
若f是[a,b]上Lebesgue可积函数,证明：
当n→∞时,∫（a→b）f(x)|sinnx|dx=2/π*∫（a→b）f(x)dx
有能做出来的或者能提供思路的都行啊……好的必有重赏!
鉴于一楼的答案，提醒回答者注意两点：
①这是Lebesgue可积，并没有f(x)连续的条件，所以积分中值定理慎用
②积分上下限是a→b，不是0→π/2
只需用连续函数逼近就可以了.
注意到对任意的连续函数g(x)有 lim 积分（从a到b）g(x)|sinnx|dx=2/pi *积分（从a到b）g(x)dx.
对任意的e>0,存在一个连续函数g(x),使得 积分（从a到b）|f(x)--g(x)|dxN时,有|积分（从a到b）g(x)|sinnx|dx--2/pi*积分（从a到b）g(x)dx|N时,有 |积分（从a到b）f(x)|sinnx|dx--2/pi*积分（从a到b）f(x)dx|
注意到对任意的连续函数g(x)有 lim 积分（从a到b）g(x)|sinnx|dx=2/pi *积分（从a到b）g(x)dx.
对任意的e>0,存在一个连续函数g(x),使得 积分（从a到b）|f(x)--g(x)|dxN时,有|积分（从a到b）g(x)|sinnx|dx--2/pi*积分（从a到b）g(x)dx|N时,有 |积分（从a到b）f(x)|sinnx|dx--2/pi*积分（从a到b）f(x)dx|