作业帮一道概率的难题（大学级）
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/14 06:35:37
一道概率的难题（大学级）
电话用户在（t,t+Δt）这段时间内对电话站呼唤一次的概率等于λΔt+o（t）,并且与时刻t以前的呼唤次数无关；而在这段时间内呼唤两次或两次以上的概率等于o（Δt）.求在（0,t）这段时间内恰好呼唤k次的概率
电话用户在（t,t+Δt）这段时间内对电话站呼唤一次的概率等于λΔt+o（t）,并且与时刻t以前的呼唤次数无关；而在这段时间内呼唤两次或两次以上的概率等于o（Δt）.求在（0,t）这段时间内恰好呼唤k次的概率
回答：
在Δt时段内,呼唤1次的概率时λΔt,呼唤0次的概率就是(1-λΔt).
将(0, t)时段分成长度为Δt的时段,那么共有(t/Δt)段.于是,问题变成“二项分布”问题.呼唤k次的概率就是
C(t/Δt, k)[(λΔt)^k][(1-λΔt)]^[(t/Δt)-k)]
对上式求Δt→0时的极限.因子C(t/Δt, k)[(λΔt)^k]的极限等于[(λt)^k]/k!；因子[(1-λΔt)]^[(t/Δt)-k)]的极限等于e^(-λt).于是,全式的极限是{[(λt)^k]/k!}e^(-λt).这就是说,在（0,t）这段时间内恰好呼唤k次的概率Pk(0, t)为
Pk(0, t)＝{[(λt)^k]/k!}e^(-λt),t>0, k=0, 1, 2, 3, .
这是著名的“泊松过程”.
在Δt时段内,呼唤1次的概率时λΔt,呼唤0次的概率就是(1-λΔt).
将(0, t)时段分成长度为Δt的时段,那么共有(t/Δt)段.于是,问题变成“二项分布”问题.呼唤k次的概率就是
C(t/Δt, k)[(λΔt)^k][(1-λΔt)]^[(t/Δt)-k)]
对上式求Δt→0时的极限.因子C(t/Δt, k)[(λΔt)^k]的极限等于[(λt)^k]/k!；因子[(1-λΔt)]^[(t/Δt)-k)]的极限等于e^(-λt).于是,全式的极限是{[(λt)^k]/k!}e^(-λt).这就是说,在（0,t）这段时间内恰好呼唤k次的概率Pk(0, t)为
Pk(0, t)＝{[(λt)^k]/k!}e^(-λt),t>0, k=0, 1, 2, 3, .
这是著名的“泊松过程”.