作业帮点的确定1
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/25 12:30:21
疑问： 对于立体几何中点的确定问题一直弄不清楚，因为我觉得只有“试错”的办法比较可行，即一般情况下都是先设这个点是该线段的中点。可很多情况下都发现中点不一定对，有时候竟然是证的是中点，而且自以为自己证对了，但事实上答案是三等分点……所以麻烦老师对于以上这两道题： 1.麻烦老师说明一下，对于这样的“是否存在一点”的问题，到底应该如何写解答的格式？ 2.对于这样证明存在一点的问题的思路的话，到底是真像我刚刚所说先猜想，还是先根据题干给的条件，若左边题目的“使得EF⊥平面DBC”与右边题目“使得EG∥平面PFD”先用上这些条件，从而判断出这个点是线段的几等分点符合? 如果是像我那样的猜想的话，麻烦老师可以先写一下为什么右边的题目证明它是中点不行，从而只能转到证明别的分点的原因吗？ 谢谢老师！
解题思路： 难有固定的格式。关键是从题目的条件敏锐地观察，有时候由数量条件的特殊性来确定特殊位置；有时候又由作图过程即性质去求其数量关系
解题过程：
解：（1） 
取AB中点M，连DM，则 ∠CDM是CD与平面ABDE所成的角， ∵ △ABC是边长为2的正三角形， ∴ 
， 设 BD＝x， 则 
，
， 由 sin∠CDM＝
， 可解得 x＝2， 即 BD＝2AE＝2， 在Rt△ACE、直角梯形ABDE中，可得 
， 取 CD的中点F，下面我们证明，这就是所要求的点F： 一方面，显然，EF⊥CD； 另一方面，取BC的中点G，则 GF //＝(1/2)BD， 而 AE //＝(1/2)BD， ∴ GF //＝AE， ∴ 四边形AEFG是平行四边形， ∵ AE⊥AG， ∴ EF⊥FG， 而 CD与FG是平面DBC内的两条相交直线， ∴ EF⊥平面DBC， 故 存在符合要求的F点，它是线段CD的中点，DF＝
. （2） 
这样的点G一定存在，找法如下： 在底面ABCD内，作EH // DF，与AD交于点H，在平面PAD内作HG // PD，交PA于G，则G即为所求， 证明：∵ EH // DF，HG // PD， ∴ 平面EHG // 平面PCD， ∴ DG // 平面PCD 计算：∵ EH // DF， ∴ △EHA ∽ △DFC， ∴ 
， 即 
， 得 
， 又∵ GH // PD， 所以 
， 即 点G存在，且 G是线段PA上最靠近点A的四等分点 . 【注】：难有固定的格式。 像左题，根据条件，容易发现为特殊点（中点），就采用“证明”式；像右题，不能看出具体点，但可以利用平行理论，在图上（象征性地）“找到”点，然后再根据条件（性质）进行计算．
解题过程：
解：（1） 取AB中点M，连DM，则 ∠CDM是CD与平面ABDE所成的角， ∵ △ABC是边长为2的正三角形， ∴ ， 设 BD＝x， 则 ，， 由 sin∠CDM＝， 可解得 x＝2， 即 BD＝2AE＝2， 在Rt△ACE、直角梯形ABDE中，可得 ， 取 CD的中点F，下面我们证明，这就是所要求的点F： 一方面，显然，EF⊥CD； 另一方面，取BC的中点G，则 GF //＝(1/2)BD， 而 AE //＝(1/2)BD， ∴ GF //＝AE， ∴ 四边形AEFG是平行四边形， ∵ AE⊥AG， ∴ EF⊥FG， 而 CD与FG是平面DBC内的两条相交直线， ∴ EF⊥平面DBC， 故 存在符合要求的F点，它是线段CD的中点，DF＝. （2） 这样的点G一定存在，找法如下： 在底面ABCD内，作EH // DF，与AD交于点H，在平面PAD内作HG // PD，交PA于G，则G即为所求， 证明：∵ EH // DF，HG // PD， ∴ 平面EHG // 平面PCD， ∴ DG // 平面PCD 计算：∵ EH // DF， ∴ △EHA ∽ △DFC， ∴ ， 即 ， 得 ， 又∵ GH // PD， 所以 ， 即 点G存在，且 G是线段PA上最靠近点A的四等分点 . 【注】：难有固定的格式。 像左题，根据条件，容易发现为特殊点（中点），就采用“证明”式；像右题，不能看出具体点，但可以利用平行理论，在图上（象征性地）“找到”点，然后再根据条件（性质）进行计算．