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在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，AB=5.

来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/25 06:54:26
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，AB=5.
（Ⅰ)探究新知：
如图①⊙O是△ABC的内切圆，与三边分别相切于点E、F、G..
（1）求证内切圆的半径r 1 ="1;"
（2）求tan∠OAG的值；
（Ⅱ）结论应用
（1）如图②若半径为r 2 的两个等圆⊙O 1 、⊙O 2 外切，且⊙O 1 与AC、AB相切，⊙O 2 与BC、AB相切，求r 2 的值；
（2）如图③若半径为r n 的n个等圆⊙O 1 、⊙O 2 、…、⊙O n 依次外切，且⊙O 1 与AC、AB相切，⊙O n 与BC、AB相切，⊙O 1 、⊙O 2 、…、⊙O n 均与AB相切，求r n 的值.
（Ⅰ)探究新知（1）证明见解析（2）1/2（Ⅱ）结论应用（1） （2）

（Ⅰ）（1）证明：在图①中，连接OE，OF。

∵点E、F、G是⊙O的切点
∴四边形CEOF是正方形， CE=CF=r 1 。
又∵AC=3，BC=4，AB=5，
∴AG=AE=3－r 1 ，BG=BF=4－r 1 ，AG+BG=5。
∴（3－r 1 ）＋（4－r 1 ）=5，解得r 1 =1。
（2）连接OG，OA在Rt△AOG中，∵OG=r 1 =1， AG= 3－r 1 =2，
∴tan∠OAG= 。
（Ⅱ）
（1）连接O 1 A、O 2 B，作O 1 D⊥AB交于点D、O 2 E⊥AB交于点E。
则 AO 1 、BO 2 分别平分∠CAB、∠ABC。
由（Ⅰ）tan∠OAG= ，知tan∠O 1 AD= ，
同理可得：tan∠O 2 BE= 。           
∴AD=2r 2 ，DE=2r 2 ，BE=3r 2 。
∵AD＋DE＋BE=5，∴ 。
（2）如图③，
连接O 1 A、O n B，作O 1 D⊥AB交于点D、O 2 E⊥AB交于点E、…、O n F⊥AB交于点F。则AO 1 、BO 2 分别平分∠CAB、∠ABC。
tan∠O 1 AD= ，tan∠O n BF= ,
∴AD=2r n ，DE=2r n ，…,FB=3r n 。
又∵AD+DE+…+FB=5，2r n +2r n +…+3r n =5，即(2n+3) r n =5，
∴ 。
（Ⅰ）（1）由切线的性质可得四边形CEOF是正方形，从而由AG=AE=3－r 1 ，BG=BF=4－r 1 ，AG+BG=5可证得内切圆的半径r 1 =1。
（2）根据锐角三角函数定义直接求得。
（Ⅱ）（1）由（Ⅰ）的结论得tan∠O 1 AD= ，同理可推得tan∠O 2 BE= ，从而由AD=2r 2 ，DE=2r 2 ，BE=3r 2 和AD＋DE＋BE=5可求得r 2 的值。
（2）由（Ⅱ）（1）有tan∠O 1 AD= ，tan∠O n BF= ,从而由AD=2r n ，DE=2r n ，…,FB=3r n 和AD+DE+…+FB=5，2r n +2r n +…+3r n =5可求得r n 的值。
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，AB=5． Rt△ABC中,∠C=90°,BC·AC=AB方/4 在Rt△ABC中,∠C=90°,BC：AC=3：4,AB=10,求AC、BC的长度. 在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4 在RT△ABC中,角C=90°,AB=10,BC与AC的长度之比为3:4,则BC=------ AC=------ 在RT三角形ABC中,∠C=90°,BC:AC=3:4,AB=10,求AC、AB的长度 在Rt△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，∠B=90°． 在Rt三角形ABC中,∠C=90°,AB=c,BC=a,AC=b 在RT△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,则AB= ,斜边上的高CD= 如图,在RT△abc中,∠c=90°,AB=5cm,BC=3cm,AC=4cm, 在RT△ABC中,∠C=90°,BC:AC=1:根号3,AB=4,解这个直角三角形 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10cm,AC：BC=4:3,点P从点A出发沿