作业帮下面的那一题
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/25 07:30:16
解题思路： 第一问，先证明f(0)＝0，再证明是奇函数，再证明单调性，都是利用已知的恒等式进行“赋值”；第二问，利用单调性确定最值.
解题过程：
解：（1）首先，由 f(x＋0)＝f(x)＋f(0)，即 f(x)＝f(x)＋f(0)， 得 f(0)＝0， 其次，由 0＝f(0)＝f(－x＋x)＝f(－x)＋f(x)， 得 f(－x)＝－f(x)， ∴ f(x)是奇函数， 设 －∞＜x1＜x2＜＋∞， 则 f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2－x1)， 由 x1＜x2，得 x2－x1＞0， 由已知，f(x2－x1)＜0， 即 f(x2)－f(x1)＜0， 得 f(x1)＞f(x2)【此式对应着－∞＜x1＜x2＜＋∞】， ∴ f(x)在R上是减函数（证毕）； （2）∵ f(x)在[m，n]上是减函数， ∴ 最小值为f(n)，最大值为f(m)， 由 －3＝f(3)＝f(2＋1)＝f(2)＋f(1)＝f(1＋1)＋f(1)＝f(1)＋f(1)＋f(1)＝3f(1)， 得 f(1)＝－1， ∴ f(m)＝f(1)＋f(m－1)＝…＝mf(1)＝－m， f(n)＝－n ， 故 函数y＝f(x)在[m，n]上的值域为 [－n，－m]． 【请问：原题对m、n有没有什么交代或说明？】
解题过程：
解：（1）首先，由 f(x＋0)＝f(x)＋f(0)，即 f(x)＝f(x)＋f(0)， 得 f(0)＝0， 其次，由 0＝f(0)＝f(－x＋x)＝f(－x)＋f(x)， 得 f(－x)＝－f(x)， ∴ f(x)是奇函数， 设 －∞＜x1＜x2＜＋∞， 则 f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2－x1)， 由 x1＜x2，得 x2－x1＞0， 由已知，f(x2－x1)＜0， 即 f(x2)－f(x1)＜0， 得 f(x1)＞f(x2)【此式对应着－∞＜x1＜x2＜＋∞】， ∴ f(x)在R上是减函数（证毕）； （2）∵ f(x)在[m，n]上是减函数， ∴ 最小值为f(n)，最大值为f(m)， 由 －3＝f(3)＝f(2＋1)＝f(2)＋f(1)＝f(1＋1)＋f(1)＝f(1)＋f(1)＋f(1)＝3f(1)， 得 f(1)＝－1， ∴ f(m)＝f(1)＋f(m－1)＝…＝mf(1)＝－m， f(n)＝－n ， 故 函数y＝f(x)在[m，n]上的值域为 [－n，－m]． 【请问：原题对m、n有没有什么交代或说明？】