作业帮用定积分方法求体积~答案是4/3π
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/22 14:37:05
用定积分方法求体积~答案是4/3π
曲线y=√x^2-1,直线x=2及x轴围成的平面图形绕x轴旋转所得的旋转体的体积为?
曲线y=√x^2-1,直线x=2及x轴围成的平面图形绕x轴旋转所得的旋转体的体积为?
易知旋转体与x轴垂直的截面积为π(x^2-1),
故V=∫(1,2)π(x^2-1)dx= π*(x^3/3-x)|(1,2)=4π/3
再问： 谢谢~! 还想请问:1.为什么旋转体面积是π(x^2-1)? 2.旋转体面积的微分是它的体积?为什么?
再答： 1.由于绕x旋转，对每个x，体积在x处的截面为一个圆面，圆的半径显然就是此时的y值=√x^2-1，故面积为πy^2=π(x^2-1). 2.积分可以理解为采用微元法的和式的极限， 每个体积微元就是 一个圆柱体，底面积为上面说的圆面，高就是dx，所以整个体积就是 在x的范围上对截面积做积分
故V=∫(1,2)π(x^2-1)dx= π*(x^3/3-x)|(1,2)=4π/3
再问： 谢谢~! 还想请问:1.为什么旋转体面积是π(x^2-1)? 2.旋转体面积的微分是它的体积?为什么?
再答： 1.由于绕x旋转，对每个x，体积在x处的截面为一个圆面，圆的半径显然就是此时的y值=√x^2-1，故面积为πy^2=π(x^2-1). 2.积分可以理解为采用微元法的和式的极限， 每个体积微元就是 一个圆柱体，底面积为上面说的圆面，高就是dx，所以整个体积就是 在x的范围上对截面积做积分