作业帮关于数学微分方程的几道题目.
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/15 04:04:57
关于数学微分方程的几道题目.
1.( d^2y)/dx^2 +4y=0 的通解为多少.
2.y'' =e^(-x) 的通解为多少.
我有答案,帮忙写出详细过程.
3. 有一个推的过程不理解,帮忙解释一下.下面一张图.
令yi=p(y) 则y''=dy'/dx=dp(y)*dy/dy*dx=dp*p/dy ________=>dp(y)*dy/dy*dx 这一步看不懂,能解释一下吗
1.( d^2y)/dx^2 +4y=0 的通解为多少.
2.y'' =e^(-x) 的通解为多少.
我有答案,帮忙写出详细过程.
3. 有一个推的过程不理解,帮忙解释一下.下面一张图.
令yi=p(y) 则y''=dy'/dx=dp(y)*dy/dy*dx=dp*p/dy ________=>dp(y)*dy/dy*dx 这一步看不懂,能解释一下吗
（1）设y'=p,则y''=dp/dx=(dp/dy)(dy/dx)=pdp/dy
代入原方程得pdp/dy+4y=0
==>pdp/dy=-4y
==>pdp=-4ydy
==>p²=A-4y² (A是大于零的积分常数)
==>p=±√(A-4y²)
==>y'=±√(A-4y²)
==>dy/√(A-4y²)=±dx
==>(1/2)arcsin(2y/√A)=B±x (B是积分常数)
==>y=(√A/2)sin(2B±2x)
==>y=(±√A/2)sin(2x+2B) (根据诱导公式)
==>y=C1sin(2x+C2) (令C1=±√A/2,C2=2B)
故原方程的通解是y=C1sin(2x+C2) (C1,C2是积分常数).
（2）∵y'' =e^(-x)==>y'=-e^(-x)+C1 (C1是积分常数)
==>y=e^(-x)+C1x+C2 (C2是积分常数)
∴原方程的通解是y=e^(-x)+C1x+C2 (C1,C2是积分常数).
说明：dp(y)*dy/dy*dx应该是(dp(y)*dy)/(dy*dx),这一步是分子和分母同乘dy得来的.
再问： 第一题中 是 ((d^2)y) /( d(x^2)) 和 你解的 dy'/dx 是相等的?? 这两个都等于y''吗 怎么看? 麻烦你了.
再答： 是的。((d^2)y) /( d(x^2))=dy'/dx=y''。
再问： 能不能写下前两个等于y''推的过程吗??
再答： ((d^2)y) /( d(x^2))=dy'/dx=y''是导数符号的定义所规定的呀，不用推导。
再问： 额 还有没有其它的形式是等于y'' 或 y' ?? 帮我想一下啊
再答： 常用的就是这这几种形式
代入原方程得pdp/dy+4y=0
==>pdp/dy=-4y
==>pdp=-4ydy
==>p²=A-4y² (A是大于零的积分常数)
==>p=±√(A-4y²)
==>y'=±√(A-4y²)
==>dy/√(A-4y²)=±dx
==>(1/2)arcsin(2y/√A)=B±x (B是积分常数)
==>y=(√A/2)sin(2B±2x)
==>y=(±√A/2)sin(2x+2B) (根据诱导公式)
==>y=C1sin(2x+C2) (令C1=±√A/2,C2=2B)
故原方程的通解是y=C1sin(2x+C2) (C1,C2是积分常数).
（2）∵y'' =e^(-x)==>y'=-e^(-x)+C1 (C1是积分常数)
==>y=e^(-x)+C1x+C2 (C2是积分常数)
∴原方程的通解是y=e^(-x)+C1x+C2 (C1,C2是积分常数).
说明：dp(y)*dy/dy*dx应该是(dp(y)*dy)/(dy*dx),这一步是分子和分母同乘dy得来的.
再问： 第一题中 是 ((d^2)y) /( d(x^2)) 和 你解的 dy'/dx 是相等的?? 这两个都等于y''吗 怎么看? 麻烦你了.
再答： 是的。((d^2)y) /( d(x^2))=dy'/dx=y''。
再问： 能不能写下前两个等于y''推的过程吗??
再答： ((d^2)y) /( d(x^2))=dy'/dx=y''是导数符号的定义所规定的呀，不用推导。
再问： 额 还有没有其它的形式是等于y'' 或 y' ?? 帮我想一下啊
再答： 常用的就是这这几种形式