已知 a1=1 a2=2 an+2=an+1+an 求证 n次根下(an+1)>= 1+1/(n次根下an)
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/25 06:05:59
已知 a1=1 a2=2 an+2=an+1+an 求证 n次根下(an+1)>= 1+1/(n次根下an)
这实际上是一个斐波那契数列.
设二次方程 x^2-x-1=0 的两根分别为 x1 、x2 ,
可得 x1+x2=1 ,x1*x2=-1 .【事实上,x1=(1+√5)/2 ,x2=(1-√5)/2 .】
由 a(n+2)=a(n+1)+an 得 an=a(n-1)+a(n-2) (n>=3),
所以 an-x1*a(n-1)=x2*[a(n-1)-x1*a(n-2)]
an-x2*a(n-1)=x1*[a(n-1)-x2*a(n-2)]
因此,数列{an-x1*a(n-1)}及{an-x2*a(n-1)}均是等比数列 ,
所以 an-x1*a(n-1)=(2-x1)*x2^(n-2) ,(1)
an-x2*a(n-1)=(2-x2)*x1^(n-2) (2)
(2)*x1-(1)*x2 得 an*(x1-x2)=(2-x2)*x1^(n-1)-(2-x1)*x2^(n-1) ,
化简得 an=1/√5*{[(1+√5)/2]^(n+1)-[(1-√5)/2]^(n+1)}
本人能力有限,以下证明靠你自己了.
设二次方程 x^2-x-1=0 的两根分别为 x1 、x2 ,
可得 x1+x2=1 ,x1*x2=-1 .【事实上,x1=(1+√5)/2 ,x2=(1-√5)/2 .】
由 a(n+2)=a(n+1)+an 得 an=a(n-1)+a(n-2) (n>=3),
所以 an-x1*a(n-1)=x2*[a(n-1)-x1*a(n-2)]
an-x2*a(n-1)=x1*[a(n-1)-x2*a(n-2)]
因此,数列{an-x1*a(n-1)}及{an-x2*a(n-1)}均是等比数列 ,
所以 an-x1*a(n-1)=(2-x1)*x2^(n-2) ,(1)
an-x2*a(n-1)=(2-x2)*x1^(n-2) (2)
(2)*x1-(1)*x2 得 an*(x1-x2)=(2-x2)*x1^(n-1)-(2-x1)*x2^(n-1) ,
化简得 an=1/√5*{[(1+√5)/2]^(n+1)-[(1-√5)/2]^(n+1)}
本人能力有限,以下证明靠你自己了.
在数列{an}中,已知(a1+a2+…+an)/n=(2n-1)an
已知数列{an}满足:a1+a2+a3+…+an=n-an 求证{an-1}为等比数列 令bn=(2-n)(an-1)求
数列放缩已知an=n^2,求证1/a1+1/a2+…+1/an
已知数列{an}满足a1=1,a2=2,an+2=an+an+12,n∈N*.
已知数列an满足an=1+2+...+n,且1/a1+1/a2+...+1/an
已知数列{an},an=2^n,则1/a1+1/a2+...+1/an等于多少?
已知a1+a2+a3+.+an=n-an 求证an-1为等比数列 令bn=(2-n)(an-1) 如果对任意n
已知数列{an}满足a1=1,a2=2,an+2=(an+an+1)/2,n∈N*.令bn=an+1-an,证明{bn}
已知数列{an}满足a1=1,a2=-13,an+2-2an+1+an=2n-6
已知数列{an}满足a1=1,a2=-13,an+2-2an+1+an=2n-6
在数列{an}中,a1=1,a2=5,an+2=an+1-an (n∈N*),则a100等于( an+2=an+1-an
已知数列{An}满足A1=0.5,A1+A2+…+An=n^2An(n∈N*),试用数学归纳法证明:An=1/n(n+1